Додатноозначена матриця

Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.

Визначення

Ермітова матриця $M$ є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

1. $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n,x\ne 0:x^{*}Mx>0$   (для ермітових матриць $x^{*}Mx$ — завжди дійсне число).
2. Всі власні значення $M$ є додатними числами.
3. Задовольняє критерій Сильвестра.
4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)

$⟨\mathbf{\text{x,y}}⟩={\mathbf{\text{x}}}^{*}M\mathbf{\text{y}}$

задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці

• Ермітова матриця $M$ називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо

$\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n:x^{*}Mx\ge 0$

Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.

• Ермітова матриця $M$ називається від'є́мно ви́значеною, якщо

$\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n,x\ne 0:x^{*}Mx<0$

Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.

Невизначена

Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.

Властивості

• Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
• Для будь-якої матриці $M$, матриці $M{M}^{*},M^{*}M$ — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.

• Якщо $M,N$ — додатньо визначені матриці і $r>0$ — додатне число, тоді матриці

$rM,M+N,MNM,NMN$ — також є додатньо визначеними матрицями.

І якщо $MN=NM$ (є переставними), тоді $MN$ — теж є додатньо визначеною.

• Якщо $M$ — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.

$M>0⟺\mathrm{\exists }!B>0:B^2=M$

Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Див. також

• Теорія матриць
• Нормальна матриця
• Полярний розклад матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць