Диференціальне рівняння параболічного типу

Диференціа́льне рівня́ння параболі́чного ти́пу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для опису процесів розпливання, дифузії, теплопровідності.

Якщо диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних в загальній формі

$a_{11}\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x^2}+2a_{12}\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x\delta y}+a_{22}\frac{{\delta }^{2}u}{\delta y^2}+F_0(x,y,u,\frac{\delta u}{\delta x},\frac{\delta u}{\delta y})=0(1)$

параболічне, то

$D=a_{12}^2-a_{11}{a}_{22}=0$.

Тоді воно має канонічну форму:

$\frac{{\delta }^{2}u}{\delta {\eta }^2}+F_4(\xi ,\eta ,\frac{\delta u}{\delta \xi },\frac{\delta u}{\delta \eta })=0$

Диференціальні рівняння характеристик збігаються, й існує один загальний інтеграл $\phi (x,y)=C$. Як наслідок $\xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)$, де $\psi$ — двічі неперервно-диференційовна функція, яка не перетворює в нуль коефіцієнти при $\frac{{\delta }^{2}u}{\delta {\eta }^2}$.

Найпростішим видом параболічного рівняння є рівняння теплопровідності:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$.

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .