Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних

З двома змінними

Диференціальним рівнянням з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними називається співвідношення між невідомою функцією $u(x,y)$ та її частинними похідними до другого порядку включно.

$F(x,y,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})=0$

Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вигляд:

$a_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2a_{12}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+F_0(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})=0$

де $a_{11},a_{12},a_{22}$ — функції від x та y.

Якщо $a_{11},a_{12},a_{22}$ є функціями також від $u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$, то таке рівняння називають квазілінійним.

Рівняння називається лінійним, якщо має вигляд:

$A\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2B\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+D\frac{\partial u}{\partial x}+E\frac{\partial u}{\partial y}+Fu=f(x,y)(1)$,

де $A,B,C,D,E,F$ — деякі функції від x та y.

Якщо $A,B,C,D,E,F$ — сталі, то рівняння називають лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Якщо $f(x,y)=0$, то рівняння однорідне, інакше неоднорідне.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним.

За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до

1. гіперболічного типу, якщо $D>0$;
2. параболічного типу, якщо $D=0$;
3. еліптичного типу, якщо $D<0$;

де $D=a_{12}^2-a_{11}{a}_{22}=B^2-AC$ (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)

З багатьма змінними

Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu+f=0(a_{ij}=a_{ji})$

$a_{ij},b_i,c,f$ — функції від $x_1,\dots x_n$.

Йому відповідає квадратична форма:

$Q({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\lambda }_i{\lambda }_j$

Зводимо її до канонічного виду, за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.

• Рівняння еліптичне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку.
• Рівняння гіперболічне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком.
• Рівняння параболічне, якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .

Шаблон:Stub Шаблон:Noiwiki