Гіпотеза Кеплера

Гранецентроване кубічне пакування

Гіпо́теза Ке́плера — гіпотеза, що найщільніше пакування куль у тривимірному просторі забезпечує гексагональна щільна ґратка. Гіпотезу сформулював Йоганн Кеплер у трактаті «Про шестикутні сніжинки» (1611). Остаточно вона була доведена 2014 року.

Формулювання

Серед усіх пакувань куль однакового розміру в тривимірному просторі найбільшу асимптотичну щільність має гранецентроване кубічне пакування (ГЦК) або пакування, рівні йому за щільністю, зокрема, гексагональне щільне пакування (ГЩ).

Зауваження

Складання гарматних ядер на кораблях у вигляді піраміди з трикутною розглядав Томас Герріот. Він обчислив частку об'єму, яку в такому пакуванні займають власне кулі:

$\frac{V_{\text{spheres}}}{V_{\text{space}}}=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}\simeq 0,74048,$

де $V_{\text{spheres}}$ — сумарний об'єм куль, $V_{\text{space}}$ — об'єм простору, займаний кулями.

Герріот звернувся до Кеплера з питанням, чи можливо укласти кулі щільніше, наприклад, якщо застосувати піраміду з чотирикутною основою.

1611 року Кеплер припустив, що пакування «пірамідою» (коли центри куль перебувають у вершинах гексагональної решітки) і є асимптотично найщільнішим. Кеплер знав, що пакування з такою щільністю у тривимірному просторі не єдине.

Історія

Інтуїтивно задача виглядала простою, але довести, що пакування з такою щільністю є найкращим, не вдавалося протягом 400 років.

Повідомлення про комп'ютерне доведення гіпотези Кеплера з'явилося 1998 році в роботі математика Шаблон:IwШаблон:Sfn. У 2003 році журі з 12 експертів, набране журналом Annals of Mathematics, прийшло до висновку, що доведення Гейлса, найпевніше, правильнеШаблон:Sfn. 2005 року, на підтвердження цього, журнал опублікував скорочене доведення, а 2009 року інший журнал — повне доведенняШаблон:Sfn.

У 2014 році доведення гіпотези перевірено за допомогою комп'ютерної системи перевірки доведень. Таким чином, зараз твердження гіпотези має статус доведеної математичної теоремиШаблон:Sfn.

Див. також

• Задача Кельвіна
• Пакування куль
• Політипія
• Задача про гарматні ядра

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Публікація