Гіперболічний трикутник

Гіперболічний трикутник на сідлоподібній поверхні

У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині. Він складається з трьох відрізків, які називаються сторонами або ребрами, і трьох точок, званих кутами або вершинами.

Як і в евклідовому випадку, три точки гіперболічного простору довільної розмірності завжди лежать в одній площині. Отже, планарні гіперболічні трикутники також описують трикутники, можливі в будь-яких гіперболічних просторах високої розмірності.

Шаблон:Не перекладено має рівносторонні трикутники зі внутрішнім кутом 2π/7 радіан.

Визначення

Гіперболічний трикутник складається з трьох неколінеарних точок і трьох відрізків між нимиШаблон:Sfn.

Властивості

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у евклідовій геометрії:

• Кожен гіперболічний трикутник має вписане коло, але не будь-який гіперболічний трикутник має описане коло (див. нижче). Його вершини можуть лежати на орициклі або гіперциклі.

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

• Два трикутника з однаковою сумою кутів рівні за площею.
• Існує верхня межа площі трикутників.
• Існує верхня межа радіуса вписаного кола.
• Два трикутники конгруентні тоді й лише тоді, коли вони переходять один в інший внаслідок скінченного числа відбиттів відносно прямої.
• Два трикутники з рівними відповідними кутами конгруентні (тобто всі подібні трикутники конгруентні).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, які протилежні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

• Сума кутів трикутника менша від 180°.
• Площа трикутника пропорційна дефіциту його суми кутів (до 180°).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, яких немає в інших геометріях:

• Деякі гіперболічні трикутники не мають описаного кола, що буває у разі, коли принаймні одна з вершин є ідеальною точкою або коли всі вершини лежать на орициклі або на односторонньому гіперциклі.
• Гіперболічні трикутники тонкі, існує найбільша відстань δ від точки на стороні до інших двох сторін. Цей принцип призводить до появи δ-гіперболічних просторів.

Трикутники з ідеальними вершинами

Три ідеальних трикутники в дисковій моделі Пуанкаре

Визначення трикутника можна узагальнити, якщо дозволити вершинам лежати на ідеальній межі гіперплощини, при цьому сторони повинні лежати всередині площини. Якщо пара сторін є асимптотично паралельними (тобто відстань між ними прямує до нуля при прямуванні до ідеальної точки, але вони не перетинаються), то вони закінчуються в ідеальній вершині, представленій омега-точкою.

Кажуть, що така пара сторін утворює нульовий кут.

Трикутник з нульовим кутом неможливий в евклідовій геометрії для прямолінійних сторін, що лежать на різних прямих. Однак такі нульові кути можливі для Шаблон:Не перекладено.

Трикутник з однією ідеальною вершиною називається омега-трикутником.

Особливі види трикутників з ідеальними вершинами:

Трикутник паралельності

Трикутник, у якому одна вершина є ідеальною точкою, один кут прямий — третій кут є кутом паралельності для сторони між прямим кутом і третім кутом.

Трикутник Швайкерта

Трикутник, у якому дві вершини є ідеальними точками, а третій кут є прямим. Це один з перших гіперболічних трикутників (1818), який описав Фердинанд Карл Швайкерт.

Ідеальний трикутник

Шаблон:Докладніше Трикутник, у якому всі вершини є ідеальними точками. Такий трикутник є найбільшим з можливих трикутників у гіперболічній геометрії, оскільки має нульову суму кутів.

Стандартизована кривина Гауса

Зв'язки між кутами і сторонами аналогічні зв'язкам між такими ж об'єктами в сферичній тригонометрії. Масштаб довжини для сферичної та гіперболічної геометрії можна, наприклад, визначити як довжину сторони рівностороннього трикутника з фіксованими кутами.

Масштаб довжини найзручніший, якщо довжини вимірюються в термінах абсолютної довжини (спеціальної одиниці довжини, аналогічної відношенню між відстанями в сферичній геометрії). Вибір масштабу довжини робить формули простішимиШаблон:Sfn.

У термінах моделі Пуанкаре у верхній півплощині абсолютна довжина відповідає інфінітезимальній метриці $ds=\frac{|dz|}{\mathrm{Im}(z)}$, а в дисковій моделі Пуанкаре відповідає $ds=\frac{2|dz|}{1-|z{|}^2}$

У термінах (сталої негативної) кривини Гауса Шаблон:Mvar гіперболічної площини одиниця абсолютної довжини відповідає довжині

$R=\frac{1}{\sqrt{-K}}.$

У гіперболічномму трикутнику сума кутів A, B, C (відповідних протилежним сторонам з тими ж буквами) строго менша від розгорнутого кута. Різниця між мірою розгорнутого кута і сумою мір кутів трикутника називається дефектом трикутника. Площа гіперболічного трикутника дорівнює його дефекту, помноженому на квадрат Шаблон:Mvar:

$(\pi -A-B-C)R^2.$

Ця теорема, вперше доведена Йоганном Генріхом ЛамбертомШаблон:Sfn, пов'язана з теоремою Жирара у сферичній геометрії.

Тригонометрія

У всіх формулах нижче сторони Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar мають бути виміряні за абсолютною довжиною, одиниці, такій, що кривина Гауса Шаблон:Mvar поверхні дорівнює −1. Іншими словами, величину Шаблон:Mvar слід прийняти рівною 1.

Тригонометричні формули для гіперболічних трикутників залежать від гіперболічних функцій sh, ch і th.

Тригонометрія прямокутних трикутників

Якщо C позначає прямий кут, то:

• Синус кута A дорівнює гіперболічному синусу протилежної до кута сторони A, поділеному на гіперболічний синус гіпотенузи c.

$\sin A=\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}a}{\mathrm{s}\mathrm{h}c}.$

• Косинус кута A дорівнює гіперболічному тангенсу прилеглого катета b, поділеному на гіперболічний тангенс гіпотенузи c.

$\cos A=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}b}{\mathrm{t}\mathrm{h}c}.$

• Тангенс кута A дорівнює гіперболічному тангенсу протилежного катета a, поділеного на гіперболічний синус прилеглого катета b.

$\mathrm{t}\mathrm{g}A=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}a}{\mathrm{s}\mathrm{h}b}.$

• Гіперболічний косинус прилеглого катета b кута A дорівнює косинусу кута B, поділеному на синус кута A.

$\text{ch(b)}=\frac{\cos B}{\sin A}.$

• Гіперболічний косинус гіпотенузи c дорівнює добутку гіперболічних косинусів катетів a і b.

$\text{ch(c)}=\text{ch(a)}\text{ch(b)}.$

• Гіперболічний косинус гіпотенузи H дорівнює добутку косинусів кутів, поділеному на твір їх синусівШаблон:Sfn.

$\text{ch(H)}=\frac{\cos A\cos B}{\sin A\sin B}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}A\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}B$

Відношення між кутами

Виконуються такі співвідношенняШаблон:Sfn:

$\cos A=\mathrm{c}\mathrm{h}a\sin B$

$\sin A=\frac{\cos B}{\mathrm{c}\mathrm{h}b}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}A=\frac{\cot B}{\mathrm{c}\mathrm{h}c}$

$\cos B=\mathrm{c}\mathrm{h}b\sin A$

$\mathrm{c}\mathrm{h}c=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}A\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}B$

Площа

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

Площа $=\frac{\pi }{2}-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B$

а також

$\text{Area}=2\arctan (\mathrm{t}\mathrm{h}(\frac{a}{2})\mathrm{t}\mathrm{h}(\frac{b}{2}))$Шаблон:Sfn.

Кут паралельності

Примірник омега-трикутника з прямим кутом дає конфігурацію для перевірки кута паралельності в трикутнику.

У випадку, коли кут B = 0, a = c = $\mathrm{\infty }$ і $\text{th}(\mathrm{\infty })=1$, отримуємо $\cos A=\text{th(b)}$ (b = прилеглий катет).

Рівносторонній трикутник

Тригонометричні формули для прямокутних трикутників дають також відношення між сторонами s і кутами A рівностороннього трикутника (трикутника, у якого всі сторони мають однакову довжину і всі кути рівні):

$\cos A=\frac{\text{th}\frac{1}{2}s}{\text{th}(s)}$

$\mathrm{c}\mathrm{h}\frac{1}{2}s=\frac{\cos (\frac{1}{2}A)}{\sin (A)}=\frac{1}{2\sin (\frac{1}{2}A)}$

Загальна тригонометрія

Незалежно від того, є C прямим кутом чи ні, виконуються такі співвідношення:

Шаблон:Не перекладено:

$\mathrm{c}\mathrm{h}c=\mathrm{c}\mathrm{h}a\mathrm{c}\mathrm{h}b-\mathrm{s}\mathrm{h}a\mathrm{s}\mathrm{h}b\cos C,$

Двоїста закону теорема

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\mathrm{c}\mathrm{h}c,$

Існує також закон синусів:

$\frac{\sin A}{\mathrm{s}\mathrm{h}a}=\frac{\sin B}{\mathrm{s}\mathrm{h}b}=\frac{\sin C}{\mathrm{s}\mathrm{h}c},$

і чотиричленна формула:

$\cos C\mathrm{c}\mathrm{h}a=\mathrm{s}\mathrm{h}a\mathrm{c}\mathrm{h}b-\sin C\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}B.$

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Нп

Для гіперболічної тригонометрії:

• Чотирикутник Ламберта
• Чотирикутник Саккері

Література

• Шаблон:Книга, інтерактивний сайт
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Цитата: «Те, що площа гіперболічного трикутника пропорційна дефекту кутів, вперше з'явилось у монографії Ламберта Theorie der Parallellinien, опублікованій у 1786»
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття

Література для подальшого читання

• Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups, University of Chicago Press