Безумовна збіжність

В математичному аналізі, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$ є збіжним і $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$=$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$.

Властивості

• Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rⁿ, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд $\sum x_n$ є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
• Якщо $\{x_n\}$ послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ випливає $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }.$

Еквівалентні визначення

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:

• для довільної послідовності $({\epsilon }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, де ${\epsilon }_n\in \{-1,+1\}$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_n{x}_n$ є збіжним.
• для довільної послідовності $({\alpha }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, такої що $\underset{n}{\sup }|{\alpha }_n|<\mathrm{\infty }$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{x}_n$ є збіжним.
• для довільної послідовності $1\le k_1<k_2<\dots$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{k_n}$ є збіжним.
• для довільного $ϵ>0$ існує скінченна підмножина $I\subset \mathbb{N},$ така що $\Vert \sum _{i\in J}{x}_i\Vert <ϵ$ для довільної скінченної підмножини $J\subset \mathbb{N}\setminus I$

Приклад

Нехай дано простір $l^p,$ де $1⩽p<\mathrm{\infty }$ — банаховий простір числових послідовностей з нормою $\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$. Розглянемо в ньому послідовність $x_n=(0,\dots ,\frac{1}{n},0,\dots ),$ де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$ є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Умовна збіжність

Посилання

• Попов Михайло. Геометрія банахових просторівШаблон:Недоступне посиланняШаблон:Ref-uk
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Шаблон:PlanetMath

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .