Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Шаблон:Otheruses Ба́зисом (Шаблон:Lang-grc, основа) векторного простору $V$ називається впорядкований набір векторів $\{e_1,...,e_n\}$, якщо кожний вектор із $V$ можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$v=\sum _{i=1}^n{a}_i{e}_i,a_i\in 𝕂.$

Коефіцієнти $a_i$ кільця $𝕂$ називаються координатами вектора $v$ відносно базису $e_i$. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

$a=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$. Тобто так само, як і для запису матриць.

Якщо $a=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$ $b=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$ та $\lambda$ - деяке дійсне число, то

$a=b\iff {\alpha }_1={\beta }_1\wedge {\alpha }_2={\beta }_2\wedge {\alpha }_3={\beta }_3,\lambda a=(\lambda {\alpha }_1,\lambda {\alpha }_2,\lambda {\alpha }_3),a+b=({\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,{\alpha }_3+{\beta }_3).$

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\dim V.$ Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Обертання

Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей.

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору $e_1,e_2,...,e_n$(правий базис), або до набору $-e_1,e_2,...,e_n$ (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори $e_1,e_2$ на кут $\frac{\pi }{2}$

$e_1,e_2,...,e_n\to -e_1,e_2,...,e_n$

Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в ${𝕂}^n$.

Див. також

• Лема Стейніца про заміну
• Ортонормований базис
• Репер (математика)
• Тензор
• Базис циклів

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць