Лема Стейніца про заміну

Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у (скінченновимірному) лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах скінченновимірного лінійного простору.

Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.

Твердження Леми

Нехай $X=\{v_1,\dots ,v_n\}$ — базис лінійного простору $V,$ а $Y=\{w_1,\dots w_s\}$ — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:

1. $s⩽n$
2. Серед векторів $v_1,\dots ,v_n$ можна вибрати підмножину $X^{\prime }$ з $n-s$ векторів, які разом з $w_1,\dots w_s$ утворюють базис простору $V$.

Доведення

Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною $s=|Y|$.

Для $s=0$, $Y$ є пустою множиною і тоді $X^{\prime }=X$.

Припустимо твердження є справедливим для всіх множин $Y$, для яких $|Y|=s-1$. Покажемо справедливість для $|Y|=s$.

Визначимо множину $Y=\{w_1,\dots w_s\}$ і $Y_1=\{w_1,\dots w_{s-1}\}$. З припущення індукції $s-1⩽n$ і існує підмножина $X{\text{'}}_1\subset X$, така що $|X{\text{'}}_1|=n-(s-1)$ і $⟨X{\text{'}}_1\cup Y_1⟩=V$. Для визначеності припустимо що $X{\text{'}}_1=\{v_1,\dots ,v_{n-s+1}\}$.

Оскільки множина $⟨X{\text{'}}_1\cup Y_1⟩=⟨v_1,\dots ,v_{n-s+1},w_1,\dots w_{s-1}⟩$ є базисом лінійного простору то:

$w_s={\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_{n-s+1}{v}_{n-s+1}+{\beta }_1{w}_1+\dots {\beta }_{s-1}{w}_{s-1}$

для деяких скалярів ${\alpha }_i,{\beta }_i$.

Для деякого $i$, виконується ${\alpha }_i\ne 0$, бо в іншому разі $w_s={\beta }_1{w}_1+\dots {\beta }_{s-1}{w}_{s-1}$, що суперечить лінійній незалежності векторів з $Y$. Без втрати загальності нехай ${\alpha }_{n-s+1}\ne 0$.

Тоді

$v_{n-s+1}={\alpha }_{n-s+1}^{-1}(w_s-{\alpha }_1{v}_1-\dots -{\alpha }_{n-s}{v}_{n-s}-{\beta }_1{w}_1-\dots {\beta }_{s-1}{w}_{s-1})$.

Тоді $V=⟨v_1,\dots ,v_{n-s},w_1,\dots w_s⟩$, тобто для кожного $v\in V$ визначені скаляри ${{\alpha }_i}^{\prime },{{\beta }_i}^{\prime }$, для яких

$v={{\alpha }_1}^{\prime }{v}_1+\dots +{\alpha }_{n^{\prime }-s+1}{v}_{n-s+1}+{{\beta }_1}^{\prime }{w}_1+\dots {\beta }_{s^{\prime }-1}{w}_{s-1}$.

Достатньо взяти $X^{\prime }=\{v_1,\dots ,v_{n-s}\}$. Тоді $⟨X^{\prime }\cup Y⟩=V$.

Також $s-1<n$. Якщо б було $s-1=n$, то $⟨Y_1⟩=V$ і відповідно $w_s\in ⟨Y_1⟩$, що суперечило б лінійній незалежності $Y$. Оскільки $s-1$< $n$ то $s⩽n$.

Джерела

• Шаблон:Citation