Багатократний інтеграл

Шаблон:Вичитати Шаблон:Числення Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, Шаблон:Math або Шаблон:Math. Інтеграли функцій двох змінних в області Шаблон:Math називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення Шаблон:Math — потрійними інтегралами:

• подвійний інтеграл:

  $\int \int f(x,y)dxdy$

• потрійний інтеграл:

  $\int \int \int f(x,y,z)dxdydz$

Визначення

Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає площу області між графіком функції і віссю Шаблон:Mvar, подвійний інтеграл додатної функції двох змінних визначає об'єм області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній системі декартових координат де Шаблон:Math) і площиною, що задає її область визначення. Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати гіпероб'єм багатовимірної функції.

Багатократний інтеграл функції із Шаблон:Mvar змінними: Шаблон:Math по області Шаблон:Mvar зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтеграла в зворотньому порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (крайній правий інтеграл буде розраховуватися в першу чергу). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтеграла або, або в скороченій формі задається змінною біля інтеграла, що знаходиться праворуч від усіх:

$\int \cdots \underset{𝐃}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

Геометрична інтерпретація

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних буде інтегруватися

Нехай функція $f(x,y)$ приймає в області $D$ тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ чисельно дорівнює об'єму $V$ вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові $D$ і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні $z=f(x,y)$.

Математичне визначення

Для Шаблон:Math, розглянемо так звану "пів-відкриту" Шаблон:Mvar-вимірну гіперпрямокутну область значень Шаблон:Mvar, визначену наступним чином:

$T=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_n,b_n)\subseteq {𝐑}^n.$

Розіб'ємо кожен інтервал Шаблон:Math на скінченну послідовність підінтервалів Шаблон:Mvar, що не перекриваються Шаблон:Mvar, де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.

Скінченна кількість підпрямокутників Шаблон:Mvar буде визначатися наступним чином

$C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

і є розбиттям області Шаблон:Mvar; таке що, підпрямокутники Шаблон:Mvar не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати Шаблон:Mvar.

Нехай Шаблон:Math є функцією визначеною в області Шаблон:Mvar. Розглянемо розбиття Шаблон:Mvar області Шаблон:Mvar описане вище, так що Шаблон:Mvar є сімейством із Шаблон:Mvar підпрямокутниками Шаблон:Mvar і

$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

Ми можемо апроксимувати загальний Шаблон:Math-вимірний об'єм, що обмежує собою Шаблон:Mvar-вимірний гіперпрямокутник Шаблон:Mvar і зверху обмежений Шаблон:Mvar-вимірним графіком функції Шаблон:Mvar за допомогою наступної суми Рімана:

$\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

де Шаблон:Mvar це точка в Шаблон:Mvar і Шаблон:Math є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює Шаблон:Mvar.

Діаметр підпрямокутника Шаблон:Mvar буде дорівнювати найбільшій довжині інтервала декартовим добутком якого є Шаблон:Mvar. Діаметр даного розбиття Шаблон:Mvar визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття Шаблон:Mvar до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників Шаблон:Mvar стає більшою, а міра Шаблон:Math для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію Шаблон:Mvar називають такою, що має Ріманів інтеграл якщо існує границя

$S=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття Шаблон:Mvar із діаметром Шаблон:Mvar.

Якщо Шаблон:Mvar інтегрована за Ріманом, то Шаблон:Mvar називають Рімановим інтегралом функції Шаблон:Mvar по області Шаблон:Mvar і позначається наступним чином

$\int \cdots \underset{T}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

Часто цей запис скорочують до наступного вигляду

$\underset{T}{\int }f(𝐱)d^n𝐱.$

де Шаблон:Math позначає Шаблон:Mvar-кортеж Шаблон:Math і Шаблон:Math позначає Шаблон:Math-вимірний об'ємний диференціал.

Властивості

Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтеграла є те, що значення інтеграла не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як Теорема Фубіні.

Методи інтегрування

Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні способу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для неперервних функцій, це підтверджується Теоремою Фубіні. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.

Далі наведені найпростіші методи інтегрування:

Інтегрування константної функції

Якщо під інтегралом знаходиться константна функція Шаблон:Mvar, інтеграл буде дорівнювати добутку Шаблон:Mvar на вимір області інтегрування. Якщо Шаблон:Math, а область є частиною області Шаблон:Math, тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною Шаблон:Math, тоді інтеграл повертає об'єм.

Наприклад. Нехай Шаблон:Math і

$D=\{(x,y)\in {𝐑}^2:2\le x\le 4;3\le y\le 6\}$

в такому випадку

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}2dxdy=2\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=2\cdot \text{area}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$,

оскільки із визначення ми маємо наступне:

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=\text{area}(D).$

Використання симетрії

Якщо область інтегрування симетрична відносно початку координат по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є парною по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.

Приклад 1. Розглянемо функцію Шаблон:Math що інтегрується по області

$T=\{(x,y)\in {𝐑}^2:x^2+y^2\le 1\},$

диск із радіусом 1 має центр в початку координат, із включеною межею.

Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:

$\underset{T}{\iint }(2\sin x-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }2\sin xdxdy-\underset{T}{\iint }3y^{3}dxdy+\underset{T}{\iint }5dxdy$

Функція Шаблон:Math є парною функцією для змінної Шаблон:Mvar а диск Шаблон:Mvar є симетричним відносно осі Шаблон:Mvar, тому значення першого інтеграла дорівнює 0. Аналогічно, функція Шаблон:Math є парною функцією для Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar симетрична відносно осі Шаблон:Mvar, і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5Шаблон:Pi.

Приклад 2. розглянемо функцію Шаблон:Math, оскільки область інтегрування є сферою із радіусом 2 із центром у початку координат,

$T=\{(x,y,z)\in {𝐑}^3:x^2+y^2+z^2\le 4\}.$

"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі Шаблон:Mvar аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.

Заміна змінних

Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або через складну формулу інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.

Приклад 1a. Функція дорівнює Шаблон:Math; якщо застосувати заміну Шаблон:Math, Шаблон:Math так що Шаблон:Math, Шаблон:Math буде одержана нова функція Шаблон:Math.

• Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні (Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar, які були перетворені вище в прикладі).
• диференціали Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar трансформуються за допомогою абсолютного значення детермінанта матриці Якобі, що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).

Існує три основні "види" заміни змінних (один для Шаблон:Math, два для Шаблон:Math); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.

Полярні координати

Перетворення від декартових до полярних координат.

Для Шаблон:Math якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати трансформування в полярні координати (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки Шаблон:Math в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в полярній системі координат. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.

Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:

$f(x,y)\to f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ).$

Приклад 2a. Функцією є Шаблон:Math, застосувавши перетворення отримаємо

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho (\cos \phi +\sin \phi ).$

Приклад 2b. Функцією є Шаблон:Math, в такому випадку маємо:

$f(\rho ,\phi )={\rho }^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )={\rho }^2$

використовуючи тригонометричну тотожність Піфагора.

Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів Шаблон:Math від початкових Шаблон:Math.

Приклад перетворення області із декартової системи координат в полярну.

Приклад 2c. Область задається як Шаблон:Math, це коло радіусом 2; очевидно, що кут який воно покриває це кут усього кола, тому Шаблон:Mvar змінюється від 0 до 2Шаблон:Pi, в той час як радіус змінюється від 0 до 2.

Приклад 2d. Область задається як Шаблон:Math, це кругла дуга в додатній відносно осі Шаблон:Mvar півплощині (див. малюнок); Шаблон:Mvar описує площину із зміною кута Шаблон:Mvar в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде таким прямокутником:

$T=\{2\le \rho \le 3,0\le \phi \le \pi \}.$

Детермінант матриці Якобі для такого перетворення буде таким:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -\rho \sin \phi \\ \sin \phi & \rho \cos \phi \end{array}\right|=\rho$

який було отримано відповідно до часткових похідних для Шаблон:Math, Шаблон:Math в першому стовбці відповідно до Шаблон:Mvar і в другому стовпці відповідно до Шаблон:Mvar, так що диференціали Шаблон:Mvar в цьому перетворенні стали замінені на Шаблон:Mvar.

Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{T}{\iint }f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho d\rho d\phi .$

Шаблон:Mvar є дійсним для інтервалу Шаблон:Math в той час як Шаблон:Mvar, що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.

Приклад 2e. Функцією є Шаблон:Math а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для Шаблон:Mvar ми вже знаємо інтервали для Шаблон:Mvar (з 2 до 3) і для Шаблон:Mvar (з 0 до Шаблон:Pi). Тепер ми змінюємо функцію:

$f(x,y)=x⟶f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi .$

нарешті, застосуємо формулу інтегрування:

$\underset{D}{\iint }xdxdy=\underset{T}{\iint }\rho \cos \phi \rho d\rho d\phi .$

Оскільки інтервали відомі, матимемо

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{2}{\overset{3}{\int }}{\rho }^2\cos \phi d\rho d\phi =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos \phi d\phi {\left[\frac{{\rho }^3}{3}\right]}_2^3=[\sin \phi {]}_0^{\pi }(9-\frac{8}{3})=0.$

Циліндричні координати

Циліндричні координати.

В Шаблон:Math інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою переходу до циліндричних координат; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:

$f(x,y,z)\to f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)$

Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.

Приклад 3a. Регіоном є Шаблон:Math (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:

$T=\{2\le \rho \le 3,0\le \phi \le 2\pi ,0\le z\le 5\}$

(це буде паралелепіпед, основа якого подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).

Оскільки компонент Шаблон:Mvar не змінюється під час перетворення, диференціали Шаблон:Mvar змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на Шаблон:Mvar.

Врешті-решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{T}{\iiint }f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho d\rho d\phi dz.$

Цей метод зручно застосовувати у випадку, коли області є циліндричними або конічними або для областей, де легко виділити інтервал z і перетворити круглу основу і функцію.

Приклад 3b. Функція задана як Шаблон:Math а область інтегрування є циліндром: Шаблон:Math. Перетворення Шаблон:Mvar в циліндричні координати є наступним:

$T=\{0\le \rho \le 3,0\le \phi \le 2\pi ,-5\le z\le 5\}.$

а функція перетворюється на

$f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)={\rho }^2+z$

Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:

$\underset{D}{\iiint }(x^2+y^2+z)dxdydz=\underset{T}{\iiint }({\rho }^2+z)\rho d\rho d\phi dz;$

продовжуючи перетворення формули отримаємо

$\underset{-5}{\overset{5}{\int }}dz\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{3}{\int }}({\rho }^3+\rho z)d\rho =2\pi \underset{-5}{\overset{5}{\int }}{[\frac{{\rho }^4}{4}+\frac{{\rho }^{2}z}{2}]}_0^{3}dz=2\pi \underset{-5}{\overset{5}{\int }}(\frac{81}{4}+\frac{9}{2}z)dz=\cdots =405\pi .$

Сферичні координати

Сферичні координати.

В Шаблон:Math деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися переходом до сферичної системи координат; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:

$f(x,y,z)⟶f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )$

Точки на осі Шаблон:Mvar не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому Шаблон:Mvar може змінюватися між значеннями 0 і 2Шаблон:Pi.

Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.

Приклад 4a. Область задана як Шаблон:Math (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область

$T=\{0\le \rho \le 4,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \}.$

Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta \sin \phi & -\rho \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \cos \phi \\ \cos \phi & 0& -\rho \sin \phi \end{array}\right|={\rho }^2\sin \phi$

Диференціали Шаблон:Mvar таким чином перетворюються на Шаблон:Math.

Це приводить до остаточної формули інтегрування:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{T}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi .$

Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична і коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для Шаблон:Math (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).

$\underset{T}{\iiint }f(a,b,c){\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi .$

Додаткові Шаблон:Math і Шаблон:Math взяті із Якобіана.

В наступних прикладах ролі Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar були замінені навпаки.

Приклад 4b. Шаблон:Mvar є такою ж областю як і в прикладі 4a, а Шаблон:Math є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:

$f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )={\rho }^2,$

ми знаємо інтервали перетвореної області Шаблон:Mvar із Шаблон:Mvar:

$T=\{0\le \rho \le 4,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \}.$

Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:

$\underset{D}{\iiint }(x^2+y^2+z^2)dxdydz=\underset{T}{\iiint }{\rho }^2{\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta d\phi ,$

і з цього ми отримаємо

$\underset{T}{\iiint }{\rho }^4\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi d\phi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{\rho }^{4}d\rho \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi {\left[\frac{{\rho }^5}{5}\right]}_0^{4}d\phi =2\pi {\left[\frac{{\rho }^5}{5}\right]}_0^4[-\cos \phi {]}_0^{\pi }=\frac{4096\pi }{5}.$

Приклад 4c. Область Шаблон:Mvar це шар із центром в початку координат і радіусом Шаблон:Math,

$D=\{x^2+y^2+z^2\le 9a^2\}$

а Шаблон:Math - функція інтегрування.

Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область Шаблон:Mvar є очевидними:

$T=\{0\le \rho \le 3a,0\le \phi \le 2\pi ,0\le \theta \le \pi \}.$

Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо

$f(x,y,z)=x^2+y^2⟶{\rho }^2{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +{\rho }^2{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi ={\rho }^2{\sin }^2\theta$.

Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:

$\underset{T}{\iiint }{\rho }^2{\sin }^2\theta {\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\underset{T}{\iiint }{\rho }^4{\sin }^3\theta d\rho d\theta d\phi$

що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для Шаблон:Mvar будуть наступними

$T=\{0\le \rho \le 3a,0\le \phi \le 2\pi ,-\sqrt{9a^2-{\rho }^2}\le z\le \sqrt{9a^2-{\rho }^2}\};$

інтервал Шаблон:Mvar було отримано за допомогою розділення кулі на дві напівсфери шляхом вирішення нерівності із формули для Шаблон:Mvar (і виконавши пряме перетворення Шаблон:Math у Шаблон:Math). Нова функція тоді буде простою Шаблон:Math. Застосовуючи формулу інтегрування

$\underset{T}{\iiint }{\rho }^2\rho d\rho d\phi dz$.

Тоді ми отримаємо

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{3a}{\int }}{\rho }^{3}d\rho \underset{-\sqrt{9a^2-{\rho }^2}}{\overset{\sqrt{9a^2-{\rho }^2}}{\int }}dz& =2\pi \underset{0}{\overset{3a}{\int }}2{\rho }^3\sqrt{9a^2-{\rho }^2}d\rho \\ & =-2\pi \underset{9a^2}{\overset{0}{\int }}(9a^2-t)\sqrt{t}dt& & t=9a^2-{\rho }^2\\ & =2\pi \underset{0}{\overset{9a^2}{\int }}(9a^2\sqrt{t}-t\sqrt{t})dt\\ & =2\pi (\underset{0}{\overset{9a^2}{\int }}9a^2\sqrt{t}dt-\underset{0}{\overset{9a^2}{\int }}t\sqrt{t}dt)\\ & =2\pi {[9a^2\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}]}_0^{9a^2}\\ & =2\cdot 27\pi a^5(6-\frac{18}{5})\\ & =\frac{648\pi }{5}{a}^5.\end{array}$

Завдяки переходу в циліндричні координати стало можливим спростити потрійний інтеграл до простого інтеграла з однією змінною.

Приклади

Подвійний інтеграл по прямокутнику

Припустимо, що ми хочемо проінтегрувати функцію багатьох змінних Шаблон:Mvar по області Шаблон:Mvar:

$A=\{(x,y)\in {𝐑}^2:11\le x\le 14;7\le y\le 10\}\text{ and }f(x,y)=x^2+4y$

З цього ми записуємо формулювання багатократного інтеграла

$\underset{7}{\overset{10}{\int }}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dxdy$

Внутрішній інтеграл застосовується першим, інтегруючи відносно змінної Шаблон:Mvar і приймаючи Шаблон:Mvar за константу, так ніби вона не є змінною інтегрування. Результат цього інтеграла, що є функцією яка залежить від лише від змінної Шаблон:Mvar, потім інтегрують по Шаблон:Mvar.

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dx& ={[\frac{1}{3}{x}^3+4yx]}_{x=11}^{x=14}\\ & =\frac{1}{3}(14{)}^3+4y(14)-\frac{1}{3}(11{)}^3-4y(11)\\ & =471+12y\end{array}$

Тепер інтегруємо результат відносно Шаблон:Mvar.

$\begin{array}{cc}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(471+12y)dy& =[471y+6y^2{]}_{y=7}^{y=10}\\ & =471(10)+6(10{)}^2-471(7)-6(7{)}^2\\ & =1719\end{array}$

Іноді, порядок інтегрування можна змінити місцями, тобто, інтегрування спочатку по x потім по y і навпаки дає однаковий результат. Наприклад, виконавши попередні розрахунки змінивши порядок навпаки приведе до того ж результату:

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(x^2+4y)dydx& =\underset{11}{\overset{14}{\int }}[x^{2}y+2y^2{]}_{y=7}^{y=10}dx\\ & =\underset{11}{\overset{14}{\int }}(3x^2+102)dx\\ & =[x^3+102x{]}_{x=11}^{x=14}\\ & =1719.\end{array}$

Умови при яких порядок можна змінювати визначає Теорема Фубіні.

Деякі практичні застосування

Як правило, як і для випадку з однією змінною, багатократний інтеграл можна використовувати для пошуку середнього значення функції в рамках заданої множини. Дана множина Шаблон:Math і інтегрована функція Шаблон:Mvar по Шаблон:Mvar, середнє значення функції Шаблон:Mvar по області задається наступним чином

$\overline{f}=\frac{1}{m(D)}\underset{D}{\int }f(x)dx,$

де Шаблон:Math це міра для Шаблон:Mvar.

Крім того, багатократні інтеграли використовуються в багатьох задачах з фізики. Нижче наводяться приклади, які також показують деякі варіації в нотації.

В механіці, момент інерції розраховується як об'ємний інтеграл (потрійний інтеграл) густини зваженої як квадрат відстані від осі:

$I_z=\underset{V}{\iiint }\rho r^{2}dV.$

Гравітаційний потенціал, що пов'язаний із розподіленням маси, що задається мірою Бореля для маси Шаблон:Mvar в тривимірному евклідовому просторі Шаблон:Math буде задано як

$V(𝐱)=-\underset{{𝐑}^3}{\iiint }\frac{G}{|𝐱-𝐲|}dm(𝐲).$

Якщо задана неперервна функція Шаблон:Math, що задає густину розподілення для Шаблон:Math, таким чином що Шаблон:Math, де Шаблон:Math є Евклідовим елементом об'єму, тоді гравітаційний потенціал дорівнює

$V(𝐱)=-\underset{{𝐑}^3}{\iiint }\frac{G}{|𝐱-𝐲|}\rho (𝐲)d^3𝐲.$

В електромагнетизмі, Рівняння Максвелла для розрахунку загального магнітного і електричного полів можна записати із використанням багатократного інтеграла. В наведеному прикладі, електричне поле, утворене через розподілення електричних зарядів задається за допомогою об'ємної густини заряду Шаблон:Math що розраховується за допомогою потрійного інтеграла векторної функції:

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{{\Vert \overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }\Vert }^3}\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }.$

Це також можна записати як інтеграл, відповідно до мирі із врахуванням знаку, що буде задавати розподілення заряду.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Клепко ВМ