Асимптотичний розклад

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Означення

Нехай функції ${\phi }_n$ задовольняють властивість: ${\phi }_{n+1}(x)=o({\phi }_n(x))(x\to L)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій ${\phi }_n$, що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$ для якого виконуються умови

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=O({\phi }_N(x))(x\to L)$

чи еквівалентно:

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=o({\phi }_{N-1}(x))(x\to L).$

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)(x\to L).$

Асимптотичний розклад Ердеї

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$ називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність ${\psi }_n$,що

$f(x)-\sum _{n=0}^N{a}_n{\phi }_n(x)=o({\psi }_N(x))(x\to L).$

Цей факт позначається:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)(x\to L)\{{\psi }_n(x)\}.$

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади

• Гамма-функція

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\mathrm{\Gamma }(x+1)\sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots (x\to \mathrm{\infty })$

• Інтегральна показникова функція

$x{e}^x{E}_1(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to \mathrm{\infty })$

• Дзета-функція Рімана

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}{n}^{-s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2m}{s}^{\overline{2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}$
де $B_{2m}$ — числа Бернуллі і $s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)$ . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.

• Функція помилок

$\sqrt{\pi }x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

• Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є:

$\frac{\sin (x)}{x}\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x{)}^n}(x\to \mathrm{\infty })\{(\log x{)}^{-n}\}.$

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:УРЕ
• Вступ до асимптотичних методів: Інтеграли та ряди : конспект лекцій / О. В. Барабаш. – К. : Київський ун-т, 2010. – 111 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга