Антипризма

Правильна антипризма з п'ятикутною основою

Антипри́зма (Шаблон:Lang-en) — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою многокутники з n вершинами (n-кутники), а решта 2n граней (бокові грані) — трикутники, що поперемінно спрямовані вершинами до однієї і та до іншої основ. Якщо основами антипризми є правильні n-кутники а у гранях — рівносторонні трикутники то така антипризма є правильною і належить до напівправильних многогранників.

Антипризма на основі правильного 17-кутника

Антипризми іменують за числом вершин многокутника, що лежить в основах: трикутна антипризма (для випадку правильної — октаедр), квадратна антипризма (для випадку правильної — антикуб), п'ятикутна антипризма і т. д.

Октаедр є правильною антипризмою з трикутними основами. Ікосаедр може бути складений з п'ятикутної правильної антипризми і двох правильних п'ятикутних пірамід.

Антипризма у декартовій системі координат

Декартові координати вершин антипризми з правильним n-кутником в основі й правильними трикутниками у бокових гранях

$(\cos \frac{k\pi }{n},\sin \frac{k\pi }{n},(-1{)}^{k}h)$

де k цілі числа від 0 до 2n−1;

$h=\sqrt{\frac{\cos \frac{\pi }{n}-\cos \frac{2\pi }{n}}{2}}.$

Об'єм і площа поверхні

Нехай a — довжина ребра правильної антипризми. Тоді її об'єм обчислюється за формулою:

$V=\frac{n\sqrt{4{\cos }^2\frac{\pi }{2n}-1}\sin \frac{3\pi }{2n}}{12{\sin }^2\frac{\pi }{n}}{a}^3,$

а площа поверхні за формулою:

$S=\frac{n}{2}(\cot \frac{\pi }{n}+\sqrt{3})a^2.$

Див. також

• Призма

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• George W. Hart Prism and Antiprism Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en