Інтеграл вздовж траєкторій

Ілюстрація дерева шляхів, які ведуть з точки A в точку B

Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.

Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою

$\underset{W[t_0,t]}{\int }(\dots )D[q(t)]=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{\left(\frac{m}{2\pi i\hslash \epsilon }\right)}^{(n+1)/2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\dots )d{q}_1\dots d{q}_n$,

де $\epsilon (n+1)=t-t_0$, $W[t_0,t]$ — множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку $(q_0,t_0)$ та кінцеву точку $(q,t)$, m — маса квантової частинки, $\hslash$ — зведена стала Планка.

Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій:

$K(qt|q_0{t}_0)=\underset{W[t_0,t]}{\int }\exp (\frac{i}{\hslash }S[q(\cdot );t_0,t])D[q(t)]$,

де $S[q(\cdot );t_0,t]$ — класична дія.

Якісна інтерпретація

На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.

Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.

Інтеграл вздовж траєкторій у фазовому просторі

Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення:

$K(qt|q_0{t}_0)=\underset{W[t_0,t]}{\int }\exp (\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}(p\dot{q}-\mathscr{H}(q,p))dt)D[q(t)]D[p(t)]$,

де $\mathscr{H}$ — функція Гамільтона.

Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.

Статистична механіка

В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню

$-\frac{\partial \hat{\rho }}{\partial \beta }=\hat{H}\hat{\rho }$,

де $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$, $k_B$ — стала Больцмана.

Формальний розв'язок цього рівняння

$\hat{\rho }(\beta )=e^{-\beta \hat{H}}\hat{\rho }(0)$.

Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини

$Z=\text{Sp}\hat{\rho }$.

Вводячи умовний «час» $u=\beta \hslash$, де $\hslash$ — зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати

$\hat{\rho }(U)=\underset{W(0,U)}{\int }\mathrm{\Phi }[u]D[u]$,

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.

Історія

Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга