Інтеграл Стілтьєса

Шаблон:Числення Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана — Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення

Нехай маємо дві дійсні функції $f,g:ℝ\to ℝ$, $P$  — множину розбиттів відрізка $[a,b]$   $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_i<\dots <x_n=b$ Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття $c_i\in [x_i,x_{i+1}]$; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

$\delta (P)=\underset{x_i\in P}{\max }|x_{i+1}-x_i|$.

Інтеграл Стілтьєса позначається так:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

і за означенням він рівний границі:

$\underset{\delta (P)\to 0}{\lim }\sum _{x_i\in P}f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

У випадку, якщо $g(x)=x$  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку $[a,b]$, тобто величина

$V_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m|f(x_{k+1})-f(x_k)|,$

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості

• Якщо функція g(x)  — диференційовна то має місце рівність:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$ (у випадку існування останнього інтеграла).

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_1+f_2)dg=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{1}dg+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{2}dg$.
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}cfdg=c\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$.
• Якщо $f_1\le f_2$ тоді $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{1}dg\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{2}dg$.
• Якщо $a<c<b$ тоді $\underset{a}{\overset{c}{\int }}fdg+\underset{c}{\overset{b}{\int }}fdg=\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd(g_1+g_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{g}_1+\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{g}_2$.
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd(cg)=c\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$

В усіх попередніх рівняннях $c\in ℝ$ і вимагається існування інтегралів в правій частині.

• Інтегрування частинами:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)df(x).$

Застосування у теорії ймовірностей

Якщо $g$  — функція розподілу ймовірностей випадкової величини $X$, що має функцію щільності ймовірності відносно міри Лебега і $f$  — будь-яка функція, для якої математичне сподівання $E[|f(x)|]$ є скінченним, то густини ймовірності функція від $X$ є похідною від $g$, тобто

$E[|f(x)|]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

Але ця формула не буде працювати, якщо $X$ не має функції щільності ймовірності відносно міри Лебега. Зокрема, вона не працює, якщо розподіл випадкової величини $X$ дискретний (тобто вся ймовірність пояснюється точковими масами), а навіть, якщо функція кумулятивного розподілу $g$ є неперервною, вона не працює, якщо $g$ не буде абсолютно неперервною (знову ж таки, функція Кантора може слугувати прикладом цього збою). Але тотожність

$E[|f(x)|]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

справедлива, якщо $g$  — будь-яка функція розподілу ймовірностей на дійсній прямій, незалежно як погано вона визначена. Зокрема, не важливо як поводить себе функція розподілу ймовірностей $g$ випадкової величини $X$, якщо момент $E(X^n)$ існує, то він дорівнює

$E\left[X^n\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n\mathrm{d}g(x)$.

Узагальнення

Важливим узагальненням є інтеграл Лебега — Стілтьєса, який узагальнює інтеграл Рімана — Стілтьєса аналогічно тому, як інтеграл Лебега узагальнює інтеграл Рімана. Якщо існує невласний інтеграл Рімана — Стілтьєса, то інтеграл Лебега не є більш строго загальним, ніж інтеграл Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Рімана — Стілтьєса також узагальнюється на випадок, коли або підінтегральна функція $f$, або інтегратор $g$ визначені в просторі Банаха. Якщо $g:[a,b]\to X$ набуває значень в просторі Банаха $X$, то природно припустити, що вона є функцією строго обмеженої варіації, тобто

$\sup \sum _i\Vert g(t_{i-1})-g(t_i){\Vert }_X<\mathrm{\infty }$

супремум розглядається по всіх скінченних розбиттях

$a=t_0\le t_1\le \dots \le t_n=b$

інтервалу $[a,b]$. Це узагальнення відіграє важливу роль у вивченні Шаблон:Не перекладено за допомогою Шаблон:Не перекладено.

інтеграл Іто розширює інтеграл Рімана — Стілтьєса, щоб охопити підінтегральну функцію та інтегратор, що є випадковими процесами, а не простими функціями; див. також теорію випадкових процесів.

Узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса

Невеликим узагальненням є розгляд у наведених розділах визначення розбиття $P$, що уточнює інше розбиття $P_{\epsilon }$, тобто $P$ виникає з $P_{\epsilon }$ шляхом додавання точок, а не розбиттів з меншим околом. Зокрема, узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції $f$ відносно $g$ є число $A$ таке, що для будь-якого $\epsilon >0$ існує таке розбиття $P_{\epsilon }$, що для кожного розбиття $P$, яке покращує $P_{\epsilon }$,

$|S(P,f,g)-A|<\epsilon$

для будь-якого набору точок $c_i\in [x_i,x_{i+1}]$. Це узагальнення проявляє властивості інтегралу Рімана — Стілтьєса як границі Мура — Сміта на спрямованій множині розбиттів інтервалу $[a,b]$.

Суми Дарбу

Інтеграл Рімана — Стілтьєса може бути конструктивно введений за допомогою відповідного узагальнення сум Дарбу. Для розбиття $P$ і неспадної функції $g$ на $[a,b]$ верхня сума Дарбу функції $f$ відносно $g$ має вигляд

$U(P,f,g)=\sum _{i=1}^n[g(x_i)-g(x_{i-1})]\underset{x\in [x_{i-1};x_i]}{\sup }f(x)$,

а нижня

$L(P,f,g)=\sum _{i=1}^n[g(x_i)-g(x_{i-1})]\underset{x\in [x_{i-1};x_i]}{\inf }f(x)$.

Тоді узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції $f$ відносно $g$ існує, тоді і лише тоді, коли для будь-якого $\epsilon >0$ існує таке розбиття $P$, що

$U(P,f,g)-L(P,f,g)<\epsilon .$

Крім того, функції $f$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом відносно $g$ (у класичному розумінні), якщо

$\underset{\text{діаметр}(P)\to 0}{\lim }[U(P,f,g)-L(P,f,g)]=0.$

Приклади та особливі випадки

Диференційовність $g(x)$

Нехай функція $g(x)$ є неперервно-диференційованою на $ℝ$, тоді справедлива рівність

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x,$

де інтеграл у правій частині є стандартним інтегралом Рімана, якщо вважати, що $f$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом.

У загальному випадку, інтеграл Рімана дорівнює інтегралу Рімана — Стілтьєса, якщо функція $g$  — інтеграл Лебега від її похідної; в цьому випадку кажуть, що $g$ є абсолютно неперервною функцією. Можливі випадки, що функція $g$ має точки розриву першого роду або має нульову похідну майже скрізь і при цьому є неперервною і зростаючою (наприклад $g$ може бути функцією Кантора), тоді в будь-якому з таких випадків інтеграл Рімана — Стілтьєса не можна представити через співвідношення, що включають похідні функції $g$.

Випрямляч

Розглянемо функцію $g(x)=\max (0,x)$, що використовується при вивченні нейронних мереж, і яку називають випрямлячем. Тоді інтеграл Рімана — Стілтьєса можна обчислити як

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$

де інтеграл у правій частині  — це стандартний інтеграл Рімана.

Інтеграл Рімана

Стандартний інтеграл Рімана  — це особливий випадок інтеграла Рімана — Стілтьєса з $g(x)=x$.

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Ріса про інтегральне представлення
• Функція розподілу ймовірностей

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч2