Slerp

В комп'ютерній графіці, SLERP (spherical linear interpolation) — лінійна інтерполяція на сфері, що використовується для анімації обертання з постійною кутовою швидкістю за допомогою кватерніонів.

Геометрична інтерпретація

SLERP має геометричну інтерпретацію незалежну від кватерніонів та розмірності простору. Вона базується на тому, що довільна точка на кривій повинна представлятись у вигляді лінійної комбінації кінців кривої. Якщо простором, в якому беруться точки, буде сфера, то геодезичний відрізок, який їх з'єднує буде не евклідовим відрізком (він не належить сфері), а буде дугою великого кола на сфері.

Якщо p₀ та p₁ початок і кінець дуги, а t параметр, 0 ≤ t ≤ 1.

Обчислимо Ω — кут дуги, отримаємо cos Ω = p₀ ∙ p₁, n-вимірний скалярний добуток одиничних векторів. Отримаємо формулу

$\mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(p_0,p_1,t)=\frac{\sin (1-t)\mathrm{\Omega }}{\sin \mathrm{\Omega }}{p}_0+\frac{\sin t\mathrm{\Omega }}{\sin \mathrm{\Omega }}{p}_1.$

Вона симетрична відносно кінців дуги Slerp(p₀,p₁,t) = Slerp(p₁,p₀,1−t).

Якщо $\mathrm{\Omega }$ — дуже маленький кут, настільки, що можуть виникнути помилки при діленні на $\sin \mathrm{\Omega }$, тому можна використовувати звичайну лінійну інтерполяцію (оскільки при маленьких значеннях $\mathrm{\Omega }:\sin (\mathrm{\Omega })\approx \mathrm{\Omega },\sin (t*\mathrm{\Omega })\approx t*\mathrm{\Omega }$, і так далі).

Запис за допомогою кватерніонів

Записавши одиничний кватерніон у вигляді q = cos Ω + v sin Ω, де v тривимірний одиничний вектор, отримаємо q ^t = cos tΩ + v sin tΩ.

записавши q = q₁qШаблон:Su, отримаємо

$\mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(q_0,q_1;t)$	$=q_0^{1-t}{q}_1^t$
	$=q_0(q_0^{-1}{q}_1{)}^t$
	$=q_1(q_1^{-1}{q}_0{)}^{1-t}$
	$=(q_0{q}_1^{-1}{)}^{1-t}{q}_1$
	$=(q_1{q}_0^{-1}{)}^t{q}_0$

Використовується лінійна залежність між кутом повороту і степенем кватерніона.

Посилання

• Відео з порівнянням Slerp та лінійної інтерполяції