F-алгебра

У математиці, і особливо у теорії категорій, $F$-алгебра — це алгебраїчна структура, пов'язана з функтором $F$.

Визначення

$F$-алгеброю ендофунктора

$F:𝒞⟶𝒞$

називається об'єкт $A$ з $𝒞$ разом з морфізмом у $𝒞$

$\alpha :FA⟶A$.

Таким чином, $F$-алгебра — це пара $(A,\alpha )$.

Гомоморфізмом з $F$-алгебри $(A,\alpha )$ у $F$-алгебру $(B,\beta )$ називається морфізм у $𝒞$

$f:A⟶B$,

для якого виконується

$f\circ \alpha =\beta \circ Ff$

Для будь-якого заданого ендофунктора $F$ можна розглянути категорію, об'єктами якої є $F$-алгебри, а морфізмами — гомоморфізми між $F$-алгебрами.

Приклади

Для прикладу, розглянемо ендофунктор $F:Set\to Set$, який відображає множину $X$ у $1+X$. Тут $Set$ є категорією множин, $1$ є скінченим об'єктом категорії $Set$ (будь-яка одноелементна множина), а $+$ — операція кодобутку (диз'юнктне об'єднання). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією $[\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o},\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{c}]:1+\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, яка є кодобутком функцій $\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}:1\to \mathbb{N}$ (котра завжди повертає 0) та $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{c}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ (котра відображає n у n+1), є $F$-алгеброй.