3D-проєкція

Шаблон:Вичитати Шаблон:Проєкції 3D проєкція — це будь-який спосіб відображення тривимірних точок на двовимірній площині. Оскільки більшість сучасних методів для відображення графічних даних базуються на планарних (піксельна інформація з декількох бітових площин) двомірних середовищах, використання цього типу проєкції широко поширене, особливо в галузі комп'ютерної графіки, інженерії та креслення.

Ортогональна проєкція

Шаблон:Main Коли людське око дивиться на сцену, віддалені об'єкти виглядають меншими, ніж об'єкти поруч. Ортогональна проєкція нехтує цим ефектом, що дозволяє створювати креслення в масштабі для будівництва і машинобудування.

Ортогональна проєкція — це невеликий набір перетворень, який часто використовується, щоб показати профіль, деталі або точні розміри тривимірного об'єкта.

Якщо нормаль площини перегляду (напрямок камери) паралельна одній з координатних осей (тобто, $X$, $Y$ або осі $Z$), то математичне перетворення виглядає наступним чином; Для проєктування 3D-точки $a_x$, $a_y$, $a_z$ на 2D точку $b_x$, $b_y$ ортогональною проєкцією, яка паралельна осі Y (вид профілю), то можна використати наступні рівняння:

$b_x=s_x{a}_x+c_x$

$b_y=s_z{a}_z+c_z$

де вектор s — довільний масштабний коефіцієнт, а c являє собою довільне зміщення. Ці константи не є обов'язковими, і можуть бути використані, щоб правильно вирівняти вікно перегляду. При використанні матричного множення, рівняння мають такий вигляд:

$\left[\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_x\\ c_z\end{array}\right]$.

У той час як орфографічно проєктовані зображення являють собою тривимірну природу проєктованого об'єкта, вони не уявляють об'єкт, як це було б записано фотографічно або, як це сприймається глядачем, який безпосередньо спостерігає за ним. Зокрема, паралельні довжини у всіх точках на ортогонально проєктованому зображенні одного і того ж масштабу, незалежно від того, чи є вони далеко або близько до віртуального перегляду. В результаті, довжини біля до глядача не малюються в ракурсі, як вони б виглядали в перспективному проєктуванні.

Слабка перспективна проєкція

«Слабка» перспективна проєкція використовує ті ж принципи ортогональної проєкції, але вимагає коефіцієнт масштабування, який необхідно вказати, таким чином гарантуючи, що ближчі об'єкти здаються більшими в проєкції, і навпаки. Це можна розглядати як гібрид між ортогональною і перспективною проєкціями, і описується або як перспективна проєкція з окремими глибинами точки $Z_i$ заміненими середнім постійним глибини $Z_{ave}$, або просто як ортогональна проєкція з масштабуванням.

Таким чином, слабко-перспективна модель апроксимує перспективну проєкцію, використовуючи простішу модель, схожу на чисту (немасштабовану) ортогональну проєкцію. Це розумне зближення, коли глибина об'єкта уздовж лінії візування мала в порівнянні з відстанню від камери, а поле зору маленьке. При цих умовах можна припустити, що всі точки на 3D-об'єкті знаходяться на однаковій відстані $Z_{ave}$ від камери, без суттєвих помилок у проєкції (в порівнянні з повною перспективною моделлю).

Перспективна проєкція

Шаблон:See also Коли людське око бачить сцену, об'єкти на відстані здаються менше, ніж об'єкти поруч — це відомо як перспектива. У той час як ортогональна проєкція ігнорує цей ефект, щоб дозволити точні вимірювання, перспективна проєкція показує, що віддалені об'єкти менше, щоб забезпечити додатковий реалізм.

Перспективна проєкція вимагає більш активну участь визначення в порівнянні з ортогональною проєкцією. Концептуальною допомогою у розумінні механіки цієї проєкції є уявлення 2D проєкції, ніби об'єкт або об'єкти в цей час розглядається через видошукач камери. Положення камери, орієнтація і поле зору управління поведінкою перетворення проєкції. Наступні змінні визначені для опису цієї трансформації:

• ${𝐚}_{x,y,z}$ — 3D-положення точки $A$, яка повинна бути спроєктована.
• ${𝐜}_{x,y,z}$ — 3D-положення точки $C$, що представляє камеру.
• ${\mathit{\theta }}_{x,y,z}$ — орієнтація камери (представлена кутами Ейлера).
• ${𝐞}_{x,y,z}$ — глядацьке положення щодо поверхні дисплея яка проходить через точку $C$, яка представляє камеру.

Що призводить до:

• ${𝐛}_{x,y}$ — 2D-проєкція $𝐚$.

Коли ${𝐜}_{x,y,z}=⟨0,0,0⟩,$ та ${\mathit{\theta }}_{x,y,z}=⟨0,0,0⟩,$ 3D-вектор $⟨1,2,0⟩$ проєктується на 2D вектор $⟨1,2⟩$.

В іншому випадку, для обчислення ${𝐛}_{x,y}$ ми спочатку визначимо вектор ${𝐝}_{x,y,z}$ як положення точки $A$ стосовно системи координат, визначеній камерою, з початком в $C$, і повернутої на $\mathit{\theta }$ відносно початкової системи координат. Це досягається шляхом віднімання матриці $C$ з $A$ і потім застосування обертання по $-\mathit{\theta }$. Це перетворення часто називають перетворенням камери, і воно може бути виражене, висловлюючи обертання в термінах обертань навколо осей $X$, $Y$, і $Z$ (ці розрахунки мають на увазі те, що осі впорядковані як лівостороння система осей):

$\left[\begin{array}{c}{𝐝}_x\\ {𝐝}_y\\ {𝐝}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)& -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)\\ 0& \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)& 0& \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)\\ 0& 1& 0\\ -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)& 0& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& 0\\ \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}{𝐚}_x\\ {𝐚}_y\\ {𝐚}_z\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{𝐜}_x\\ {𝐜}_y\\ {𝐜}_z\end{array}\right]\right)$

Це уявлення відповідає обертанню на три кута Ейлера, використовуючи конвенцію $XYZ$, яку можна інтерпретувати як «обертання навколо зовнішніх осей (осі сцени) в порядку $Z$, $Y$, $X$ (читання справа наліво)» або «поворот навколо власних осей (осі камери) в порядку $X$, $Y$, $Z$ (читання зліва-направо)». Зверніть увагу, що якщо камера не повертається (${\mathit{\theta }}_{x,y,z}=⟨0,0,0⟩$), то матриці випадають (як тотожності), і це зводиться до простого зрушення: $𝐝=𝐚-𝐜.$

Як альтернатива, без використання матриць:

$\begin{array}{c}{𝐝}_x=c_y(s_z𝐲+c_z𝐱)-s_y𝐳\\ {𝐝}_y=s_x(c_y𝐳+s_y(s_z𝐲+c_z𝐱))+c_x(c_z𝐲-s_z𝐱)\\ {𝐝}_z=c_x(c_y𝐳+s_y(s_z𝐲+c_z𝐱))-s_x(c_z𝐲-s_z𝐱)\end{array}$

(де $𝐱$ = $a_x-c_x$ і т. д., $c_{\alpha }$ = $\cos \left({\theta }_{\alpha }\right)$, $s_{\alpha }$ = $\sin \left({\theta }_{\alpha }\right)$).

Це перетворення точки потім може проєктуватися на 2D площині, використовуючи формулу (тут x/у, використовується як площина проєкції; у літературі також може використовуватися x/z):

$\begin{array}{ccc}{𝐛}_x& =& \frac{{𝐞}_z}{{𝐝}_z}{𝐝}_x-{𝐞}_x\\ {𝐛}_y& =& \frac{{𝐞}_z}{{𝐝}_z}{𝐝}_y-{𝐞}_y\end{array}.$

Або в матричній формі з використанням однорідних координат, система

$\left[\begin{array}{c}{𝐟}_x\\ {𝐟}_y\\ {𝐟}_z\\ {𝐟}_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{{𝐞}_x}{{𝐞}_z}& 0\\ 0& 1& -\frac{{𝐞}_y}{{𝐞}_z}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1/{𝐞}_z& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐝}_x\\ {𝐝}_y\\ {𝐝}_z\\ 1\end{array}\right]$

в поєднанні з аргументами, використання подібних трикутників призводить до поділу однорідними координатами, даючи

$\begin{array}{ccc}{𝐛}_x& =& {𝐟}_x/{𝐟}_w\\ {𝐛}_y& =& {𝐟}_y/{𝐟}_w\end{array}.$

Відстань від поверхні дисплея до глядача, ${𝐞}_z$, безпосередньо пов'язана з полем зору, де $\alpha =2\cdot {\tan }^{-1}(1/{𝐞}_z)$ це розглянутий кут.

Наведені вище рівняння можна переписати таким чином:

$\begin{array}{c}{𝐛}_x=({𝐝}_x{𝐬}_x)/({𝐝}_z{𝐫}_x){𝐫}_z\\ {𝐛}_y=({𝐝}_y{𝐬}_y)/({𝐝}_z{𝐫}_y){𝐫}_z\end{array}.$

В якому ${𝐬}_{x,y}$ — розмір дисплея, ${𝐫}_{x,y}$ — розмір робочої поверхні диска (наприклад CCD), ${𝐫}_z$ відстань від поверхні запису центру камери, та ${𝐝}_z$ це відстань, від 3D точки проєктування, до ока користувача.

Подальші операції відсікання і масштабування можуть бути необхідними для відображення 2D площини на будь-якому дисплеї.

Схема

Для того, щоб визначити, який x-координатний екран відповідає точці, в $A_x,A_z$ помножимо координати точки на:

$B_x=A_x\frac{B_z}{A_z}$

де

$B_x$ x координата екрана.

$A_x$ x координата моделі.

$B_z$ фокусна відстань — осьова відстань від Шаблон:Нп до площини зображення.

$A_z$ це відстань до об'єкта.

Посилання

• A case study in camera projection
• Creating 3D Environments from Digital Photographs