-1 (число)

Мі́нус оди́н, −1 — це ціле число, більше, ніж (−2), і менше, ніж 0. Число −1 — протилежне число для 1, тобто, при додаванні цього числа до 1 в результаті утворюється 0. Найбільше від'ємне ціле число.

Алгебричні властивості

Мінус одиниця має ряд властивостей, схожих із властивостями числа 1.

• Множення на мінус одиницю зберігає модуль множника, але зі зміною знака:

$(-1)\cdot x=-x$

Це можна довести, скориставшись розподільним законом і аксіомою, що 1 є нейтральним елементом:

Шаблон:Math.

Тут ми використали той факт, що будь-яке число Шаблон:Mvar помножене на 0 дорівнює 0, що отримується скороченням з рівняння

Шаблон:Math.

0, 1, −1, Шаблон:Mvar та − Шаблон:Mvar в комплексній або декартовій площині

Іншими словами,

Шаблон:Math,

отже Шаблон:Math є адитивно оберненим до Шаблон:Mvar, тобто Шаблон:Math, що й потрібно було довести.

Квадрат −1

Квадрат −1, тобто −1, помножене на −1, дорівнює 1. Як наслідок, добуток двох від'ємних чисел є додатним.

Алгебричне доведення цього результату почнемо з рівняння

Шаблон:Math.

Перша рівність випливає з наведеного вище результату, а друга — з визначення −1 як адитивно оберненої до 1: саме це число, додане до 1, дає 0. Тепер, використовуючи розподільний закон, маємо

Шаблон:Math.

Третя рівність випливає з того факту, що 1 є нейтральним елементом. Але тепер додавання 1 до обох частин цього останнього рівняння означає

Шаблон:Math.

Наведені вище аргументи справедливі в будь-якому кільці, концепції абстрактної алгебри, що узагальнює цілі та дійсні числа.

Квадратні корені з −1

Хоча не існує дійсних квадратних коренів з −1, комплексне число Шаблон:Mvar задовольняє Шаблон:Math, і тому його можна розглядати як квадратний корінь з −1. Єдине інше комплексне число, квадрат якого дорівнює −1, — це Шаблон:Mvar оскільки існує рівно два квадратних корені з будь-якого ненульового комплексного числа, що випливає з основної теореми алгебри. В алгебрі кватерніонів — де основна теорема не застосовується — які містять комплексні числа, рівняння Шаблон:Math має нескінченно багато розв'язків.

Піднесення до цілого від'ємного степеня

Піднесення до степеня ненульового дійсного числа можна розширити до цілих від'ємних чисел. Приймемо, що Шаблон:Math, тобто, ототожнимо піднесення до степеня −1 зі знаходженням оберненого числа. Тоді це визначення можна поширити на цілі від'ємні числа, зберігши правило піднесення до степеня Шаблон:Math для дійсних $a$ і $b$.

Піднесення до від'ємного цілого степеня можна поширити на обернені елементи кільця, визначивши Шаблон:Math як мультиплікативне обернене до Шаблон:Mvar.

Показник −1 біля назви функції, не означає, що слід взяти (поточково) обернені значення цієї функції, а є позначенням оберненої функції. Наприклад, Шаблон:Math є позначенням функції арксинуса, а загалом Шаблон:Math позначає функцію, обернену до Шаблон:Math.

Використання

• У розробці програмного забезпечення −1 є зазвичай початковим значенням для цілих чисел і також використовується, щоб показати, що змінна не містить корисної інформації.
• −1 пов'язане з тотожністю Ейлера, оскільки Шаблон:Math.