Ядерний оператор

Ядерне відображення — лінійний оператор $A$, який відображає один локально опуклий простір ${\mathrm{\Pi }}_1$ у другий ${\mathrm{\Pi }}_2,$ $A:{\mathrm{\Pi }}_1\to {\mathrm{\Pi }}_2,$ за умови, якщо він представляється у вигляді

$x\mapsto Ax=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{k}_i{x}_{(x)}^{*}{y}_i,$

де $\{k_i\}$ є сумою числової послідовності, $\{x^{*}\}$ — рівностепенево неперервна послідовність у ${\mathrm{\Pi }}_1^{*}$ (спряженому до ${\mathrm{\Pi }}_1$ просторі), $\{y_i\}$ — послідовність елементів повної обмеженої опуклої закругленої множини у ${\mathrm{\Pi }}_2;$ значення лінійного функціоналу $x^{*}$ на векторі $x$ тут позначено $x_{(x)}^{*}.$ Таким чином припускається спеціального виду апроксимація операторами скінченного рангу (тобто лінійними неперервними операторами із скінченновимірними образами) по ядерній нормі.

Ядерні оператори з'явилися спочатку як оператори із слідом у квантовій механіці. У гільбертовому просторі між операторами зі слідом та двохвалентними тензорами існує бієкція, слід таким чином оператора збігається з результатом згортання відповідного тензора.

Квантове вимірювання

Для опису вимірювання стану при довільному квантовому вимірюванні Е. Б. Девіс й Дж. Льюїс (1970) увели поняття інструмента — міри із значеннями у множині перетворень квантових станів. Нехай $Q$ є вимірюваним простором, а $𝔅(Q)$ — множина всеможливих результатів вимірювання. Інструментом є функція, яка кожній вимірюваній множині $B\in 𝔅(Q)$ ставить у відповідність функцію $ℳ=\{ℳ(B)|B\in 𝔅\}$ так, що $ℳ(B)$ є неселективною операцією, тобто

$\mathrm{T}\mathrm{r}ℳ(Q)[𝔜]=\mathrm{T}\mathrm{r}𝔜\mathrm{\forall }𝔜\in H,$

де $𝔜$ — ядерний оператор, $H$ — гільбертів простір.

Якщо $\{B_i\}\subset 𝔅(Q)$ — скінченне або зліченне розшарування множини $B\in 𝔅(Q)$ на попарно непересічні підмножини, то

$ℳ(T)[𝔜]=\sum _jℳ(B_j)[𝔜];𝔜\in 𝔏(Q),$

де ряд сходиться по ядерній нормі $𝔏(Q).$  

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1