Число Люка

Числа Люка або ряд Люка — цілочисельна послідовність, яка названа на честь математика Франсуа Едуара Анатоля Люка (1842–1891), який вивчав як цю послідовність, так і тісно пов’язані числа Фібоначчі. Числа Люка та числа Фібоначчі утворюють доповняльні випадки послідовностей Люка.

Послідовність Люка має таке саме рекурсивне співвідношення як і послідовність Фібоначчі, де кожен доданок є сумою двох попередніх доданків, але з різними початковими значеннями. Це приводить до послідовності, де відношення послідовних доданків наближаються до золотого перерізу, і фактично самі члени є наближеннями цілих степенів золотого перерізу. Послідовність також має різноманітні взаємозв’язки з числами Фібоначчі. Наприклад, додавання будь-яких двох чисел Фібоначчі, розділених двома членами в послідовності Фібоначчі, приводить числа Люка між ними.

Кілька перших чисел Люка

$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,\dots .$

Означення

Аналогічно до чисел Фібоначчі, кожне число Люка визначається як сума двох безпосередніх попередніх членів, утворюючи тим самим цілочисельну послідовність Фібоначчі. Перші два числа Люка — це $L_0=2$ та $L_1=1$ на відміну від перших двох чисел Фібоначчі $F_0=0$ та $F_1=1$. Незважаючи на тісний зв’язок в означенні, числа Люка та Фібоначчі мають різні властивості.

Числа Люка можуть бути визначені наступним чином:

$L_n:=\{\begin{array}{cc}2& \text{якщо }n=0;\\ 1& \text{якщо }n=1;\\ L_{n-1}+L_{n-2}& \text{якщо }n>1.\end{array}$

(де $n$ — $0$ або натуральне число).

Послідовність перших дванадцяти чисел Люка наступна:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . Шаблон:OEIS

Усі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі з’яляються у зсувній формі як рядки Шаблон:Нп; сама послідовність Фібоначчі є першим рядком, а послідовність Люка — другим рядком. Також, як і всі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі, відношення між двома послідовними числами Люка збігається до золотого перерізу.

Узагальнення на від’ємні цілі числа

Використовуючи $L_{n-2}=L_n-L_{n-1}$, можна розширити числа Люка на від’ємні цілі числа, щоб отримати подвійно нескінченну послідовність:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (значення $L_n$ для $-5\le n\le 5$).

Формула значень з від’ємними індексами в цій послідовності

$L_{-n}=(-1{)}^n{L}_n.$

Зв’язок з числами Фібоначчі

Числа Люка пов’язані з числами Фібоначчі багатьма тотожностями. Серед них такі:

• $L_n=F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$,
• $L_{m+n}=L_{m+1}{F}_n+L_m{F}_{n-1}$,
• $L_n^2=5F_n^2+4(-1{)}^n$, а отже якщо $n$ наближається до $+\mathrm{\infty }$ співвідношення $\frac{L_n}{F_n}$ наближається до $\sqrt{5}$,
• $F_{2n}=L_n{F}_n$,
• $L_{2n}=5F_n^2+2(-1{)}^n=L_n^2-2(-1{)}^n$,
• $F_{n+k}+(-1{)}^k{F}_{n-k}=L_k{F}_n$,
• $L_{n+k}-(-1{)}^k{L}_{n-k}=5F_n{F}_k$, зокрема, $F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}$.

Їх замкнена формула подана як

$L_n={\phi }^n+(1-\phi {)}^n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n,$

де $\phi$ це золотий перетин. Інакше, для $n>1$ величина виразу $(-\phi {)}^{-n}$ менше ніж $1/2,$ $L_n$ є найближчим цілим числом до ${\phi }^n$ або, що еквівалентно, ціла частина ${\phi }^n+1/2$ , також записується як $\lfloor {\phi }^n+1/2\rfloor$. Поєднуючи вищесказане з формулою Біне

$F_n=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}},$

одержуємо формулу для ${\phi }^n$:

${\phi }^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}.$

Подільність чисел Люка

Перший підхід до питання про подільність $L_n$ на ціле число $a$ полягає у вивченні послідовності залишків від $L_n$ за модулем $a$ : ця послідовність $(r_n)$ перевіряє (в $Z/aZ$) одну і ту ж рекурентність $(r_{n+2}=r_{n+1}+r_n)$ і, отже, є періодичною з періодом не більше $a^2$ (довжини періодів функції $a$ утворюють послідовність періодів Пізано, Шаблон:OEIS). Точніше, дослідження цієї рекурентності та співвідношення $L_n=F_{2n}/F_n$, у полі $Z/pZ$ (де $p$ - просте число) призводить до результатів, подібних до тих, що були отримані для послідовності Фібоначчі.

Ми також показуємо, що жодне число Люка не ділиться на число Фібоначчі $F_n⩾5$ .

Відношення конгруентності

Якщо $F_n\ge 5$ є числом Фібоначчі, тоді жодне число Люка не ділиться на $F_n$.

$L_n$ відповідає $1modn$ якщо $n$ є простим, але деякі складені значення $n$ також мають цю властивість. Це Шаблон:Нп.

$L_n-L_{n-4}$ конгруентно $0mod5$.

Прості числа Люка

Просте число Люка — це число Люка, яке є простим. Перші кілька простих чисел Люка

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... Шаблон:OEIS.

Індекси цих простих чисел (наприклад, $L_4=7$)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... Шаблон:OEIS.

Якщо $L_n$ є простим, тоді $n$ дорівнює $0$, є простим або степенем $2$. $L_{2^m}$ є простим для $m=1,2,3$, і $4$ і жодних інших відомих значень $m$.

Генерування рядів

Нехай

$\mathrm{\Phi }(x)=2+x+3x^2+4x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n{x}^n$

буде генератрисою чисел Люка. Шляхом прямого обчислення,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Phi }(x)& =L_0+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{L}_n{x}^n\\ & =2+x+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(L_{n-1}+L_{n-2})x^n\\ & =2+x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{L}_n{x}^{n+1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n{x}^{n+2}\\ & =2+x+x(\mathrm{\Phi }(x)-2)+x^2\mathrm{\Phi }(x)\end{array}$

який можна перегрупувати як

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{2-x}{1-x-x^2}.$

Розкладання на прості дроби задає

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{1-\phi x}+\frac{1}{1-\varphi x},$

де $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотий перетин і $\varphi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ є його спряженим.

Многочлени Люка

Так само, Шаблон:Нпвиводяться з чисел Фібоначчі, Шаблон:Нп $L_n(x)$ є Шаблон:Нп, отриманою з чисел Люка.

Застосування

Числа Люка є другою за поширеністю схемою у соняшників після чисел Фібоначчі, коли враховуються спіралі за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки, згідно з аналізом 657 соняшників у 2016 році.

Див. також

• Узагальнення чисел Фібоначчі

Зовнiшнi посилання

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• "The Lucas Numbers", Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• Шаблон:OEIS