Циклогон

Циклогон — крива, окреслена вершиною многокутника, який котиться без ковзання по прямій. Щодо характеру многокутника обмежень немає. Це може бути правильний многокутник, наприклад рівносторонній трикутник або квадрат. Многокутник не обов'язково має бути опуклим: це може бути навіть зіркоподібний многокутникШаблон:Джерело. У загальнішому плані також розглядають криві, прокреслені точками, відмінними від вершин. У таких випадках вважають, що точка трасування жорстко прикріплена до многокутникаШаблон:Джерело. Якщо точка трасування розташована за межами многокутника, то криву називають витягнутим циклогоном, а якщо вона лежить всередині многокутника — кривоподібним циклогономШаблон:Джерело.

Коли кількість сторін правильного многокутника збільшується до нескінченності, циклогон стає циклоїдою.

Площа циклогона має цікаву властивість. Нехай Шаблон:Mvar — площа області між прямою та однією з дуг, Шаблон:Mvar — площа многокутника, який котиться, та Шаблон:Mvar — площа круга, обмеженого описаним навколо многокутника колом. Для кожного циклогона, утвореного правильним многокутником,

$A=P+2C.$

Приклади

Циклогони, утворені рівностороннім трикутником і квадратом

Анімація, яка показує створення однієї дуги циклогона рівностороннім трикутником, який котиться без ковзання по прямій.

Анімація, яка показує створення однієї дуги циклогона квадратом, який котиться без ковзання по прямій.

Анімація, яка показує створення витягнутого циклогона рівностороннім трикутником, який котиться без ковзання по прямій. Точка трасування X розташована поза описаним навколо трикутника колом.

Зігнутий циклогон, утворений рівностороннім трикутником

Анімація, яка показує створення зігнутогоШаблон:Прояснити циклогона рівностороннім трикутником, який котиться без ковзання по прямій. Точка трасування Y лежить усередині описаного навколо трикутника кола.

Циклогони, породжені чотирикутниками

Циклогон, утворений опуклим чотирикутником

Циклогон, утворений неопуклим чотирикутником

Циклогон, утворений зіркоподібним чотирикутником

Узагальнені циклогони

Циклогон виникає, коли многокутник котиться по прямій. Припустимо, що правильний многокутник перекочується сторнами іншого многокутника. Нехай також точка трасування лежить не на межі многокутника, а всередині нього або поза ним, але в площині многокутника. У цій загальнішій ситуації нехай криву описує точка z на правильному многокутному дискуШаблон:Прояснити з n сторонами, що обертається навколо іншого правильного многокутного диска з m сторін. Нехай сторони цих многокутників мають однакову довжину. Точка z, жорстко прикріплена до n-кутника, викреслить лінію, що складається з n дуг кіл, перш ніж почне періодично повторюватися. Цю криву називають трохогоном — епітрохогоном, якщо n-кутник котиться поза m-кутником, і гіпотрохогоном, якщо він котиться всередині m-кутника. Трохогон є вигнутимШаблон:Прояснити, якщо z дежить усередині n-кутника, і витягнутимШаблон:Прояснити (з петлями), якщо z лежить поза n-кутником. Якщо z збігається з вершиною, то утворюється епіциклогон або гіпоциклогон.

Див. також

• Циклоїда
• Епіциклоїд
• Гіпоциклоїда