Фібоноріал

У математиці Фібоноріал $n{!}_F$, інша назва факторіал Фібоначчі, де $n$ — невід'ємне ціле число, визначається як добуток перших $n$ додатних чисел Фібоначчі, тобто

${n!}_F:=\prod _{i=1}^n{F}_i,n\ge 0,$

де $F_i$ — $i^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ число Фібоначчі, а $0{!}_F$ — порожній добуток (визначений, як нейтральний елемент, тобто 1).

Фібоноріал $n{!}_F$ визначається аналогічно факторіалу $n!$. Фібонаріальні числа використовуються у визначенні фібономіальних коефіцієнтів аналогічно тому, як факторіали використовуються для визначення біноміальних коефіцієнтів.

Асимптотична поведінка

Ряд фібонаріалів є асимптотичним для функції золотого перетину

$\phi :n{!}_F\sim C\frac{{\phi }^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}.$

Тут фібонаріальна константа (також її називають факторіальною константою Фібоначчі) $C$ визначається як $C=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-a^k)$, де $a=-\frac{1}{{\phi }^2}$ і $\phi$ — число золотого перетину.

Наближене значення $C$ становить 1,226742010720 (див. Шаблон:OEIS для більшої кількості знаків).

Майже-фібонаріальні числа

Майже-фібонаріальні числа:

$n{!}_F-1$.

Майже-фібонаріальні прості числа: прості числа серед майже-фібонаріальних чисел.

Квазі-фібонарільні числа

Квазі-фібонаріальні числа:

$n{!}_F+1.$

Квазі-фібонаріальні прості числа: прості числа серед квазі-фібоноріальних чисел.

Зв'язок із $q$-факторіалом

Фібонаріал можна представити через $q$-факторіал і золотий перетин $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$:

$n{!}_F={\phi }^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}[n{]}_{-{\phi }^{-2}}!.$

Послідовності

Шаблон:OEIS2C Добуток перших $n$ ненульових чисел Фібоначчі $F(1),...,F(n)$.

Шаблон:OEIS2C та Шаблон:OEIS2C для $n$ таких, що $n{!}_F-1$ і $n{!}_F+1$ є простими числами.