Функції Бріллюена та Ланжевена

Функції Бріллюена та Ланжевена — дві спеціальні функції, що виникають під час вивчення ідеалізованого парамагнітного матеріалу в статистичної механіці.

Функція БріллюенаШаблон:Якір

Функція Бріллюена — спеціальна функція, яку визначають таким рівнянням:

$B_J(x)=\frac{2J+1}{2J}\coth \left(\frac{2J+1}{2J}x\right)-\frac{1}{2J}\coth \left(\frac{1}{2J}x\right)$

Функцію зазвичай застосовують (див. нижче) в контексті, де х — дійсна змінна і J — додатне ціле чи напівціле число. В цьому випадку функція змінюється від -1 до 1, досягаючи +1, при

$x\to +\mathrm{\infty }$

і -1 при

$x\to -\mathrm{\infty }$

.

Найчастіше застосовують при розрахунку намагніченості ідеального парамагнетику. Зокрема, функція описує залежність намагніченості $M$ від прикладеного магнітного поля $B$ і повного кутового моменту J матеріалу, що складається з мікроскопічних магнітних моментів. Намагніченість дається формулою:

$M=Ng{\mu }_{B}J\cdot B_J(x)$

де

• $N$ — кількість атомів на одиницю об'єму,
• $g$ — g-фактор,
• ${\mu }_B$ — магнетон Бора,
• $x$ — відношення зееманівської енергії магнітного моменту в зовнішньому полі до теплової енергії $k_{B}T$:

$x=\frac{g{\mu }_{B}JB}{k_{B}T}$

де $k_B$ — стала Больцмана, $T$ — температура.

Зазначимо, що в Міжнародній системі одиниць (SI) індукція магнітного поля $B$ вимірюється в теслах, $B={\mu }_{0}H$, де $H$ — напруженість магнітного поля в А/м, ${\mu }_0$ — магнітна стала.

Функція ЛанжевенаШаблон:Якір

У класичній границі, моменти можуть неперервно вишикуватися за полем і

$J$

може набувати всіх значень (

$J\to \mathrm{\infty }$

). У цій границі функція Бріллюена перетворюється на функцію Ланжевена, названу на честь Поля Ланжевена:

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$

Для малих значень Шаблон:Math, функцію Ланжевена можна розкласти в ряд Тейлора:

$L(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\dots$

Альтернативну апроксимацію можна отримати з неперервного дробу Ламберта розкладу Шаблон:Math:

$L(x)=\frac{x}{3+\frac{x^2}{5+\frac{x^2}{7+\frac{x^2}{9+\dots }}}}$

За досить малих Шаблон:Math, обидві апроксимації чисельно кращі, ніж пряма оцінка аналітичного виразу, оскільки остання страждає від втрати значущості.

Високотемпературна границяШаблон:Якір

При $x\ll 1$, тобто, коли ${\mu }_{B}B/k_{B}T$ мале, намагніченість можна апроксимувати законом Кюрі:

$M=C\cdot \frac{B}{T}$

де $C=\frac{N{g}^{2}J(J+1){\mu }_B^2}{3k_B}$ — стала. Можна відзначити, що $g\sqrt{J(J+1)}$ — ефективна кількість магнетонів Бора.

Границя високих полівШаблон:Якір

При $x\to \mathrm{\infty }$ функція Бріллюена перетворюється на 1. Намагніченість насичується і магнітні моменти повністю вишиковуються в напрямку прикладеного поля:

$M=Ng{\mu }_{B}J$