Функціонал Шредінгера

У математичній фізиці деякі підходи до квантової теорії поля є популярнішими за інші. З історичних причин картина Шредінгера менш популярна, ніж методи простору Фока. У перший час квантової теорії поля збереження симетрій, таких як інваріантність Лоренца, їх проявлення і доведення ренормалізації мали вирішальне значення. Картина Шредінгера не є проявною інваріантністю Лоренца, а його ренормалізовність була представлена тільки в 1980-х роках Куртом Зіманціком (1981).

В межах картини Шредінгера, Шредінгерівський хвильовий функціонал виділяється як, імовірно, найбільш корисний та універсальний функціональний інструмент, хоча на даний момент інтерес до нього є предметним.

Функціонал Шредінгера, у його найпростішій формі, є генератором перекладу в часі стану хвильових функціоналів. Простими словами, він визначає, як еволюціонує квантова система частинок з часом та як виглядають наступні системи.

Передумови

Квантова механіка визначається за просторовими координатами 𝑥, на які діє група Галілея, і відповідні оператори діють на її стан як 𝑥^𝜓(𝑥) = 𝑥𝜓(𝑥). Стан характеризується хвильовою функцією 𝜓(𝑥) = ⟨𝑥|𝜓⟩, отриманою проектуванням на власні стани координат, визначені оператором координати 𝑥^|𝑥⟩ = 𝑥|𝑥⟩. Ці власні стани не є стаціонарними. Часова еволюція породжується гамільтоніаном і дає рівняння Шредінгера 𝑖∂/∂𝑡|𝜓(𝑡)⟩ = 𝐻^|𝜓(𝑡)⟩.

Проте, у квантовій теорії поля координата є оператором поля${\hat{\varphi }}_{𝐱}=\hat{\varphi }(𝐱)$, який впливає на хвильову функціональну стану таким чином:

$\hat{\varphi }(𝐱)\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot )]=\mathrm{\varphi }\left(𝐱\right)\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot )],$

де "⋅" позначає незафіксований просторовий аргумент. Ця хвильова функціональна

$\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot )]=⟨\varphi (\cdot )|\mathrm{\Psi }⟩$

добувається за допомогою власних станів поля

$\hat{\varphi }(𝐱)|\mathrm{\Phi }(\cdot )⟩=\mathrm{\Phi }(𝐱)|\mathrm{\Phi }(\cdot )⟩,$

які індексуються невикористовуваними конфігураціями "класичного поля" Φ (⋅). Ці власні стани, подібно до власних станів позиції вище, не є стаціонарними. Часова еволюція генерується гамільтоніаном, результатом якого є рівняння Шредінгера,

$i{\partial }_0|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩.$

Отже, стан у квантовій теорії поля, в теорії, є функціональним перехресним поділом конфігурацій полів.

Приклад: Скалярне поле

У квантовій теорії поля (як приклад) квантове скалярне поле $\hat{\varphi }(x)$, в повноцінній аналогії з одночастинковим квантовим гармонійним осцилятором, власний стан цього квантового поля з "класичним полем" $\varphi (x)$ ( c-число ) як його власне значення,

$\hat{\varphi }(x)|\varphi ⟩=\varphi \left(x\right)|\varphi ⟩$

є (Schwartz, 2013)

$|\varphi ⟩\propto e^{-\int dx\frac{1}{2}(\varphi (x)-{\hat{\mathrm{\Phi }}}_{+}(x){)}^2}|0⟩$

де ${\hat{\mathrm{\Phi }}}_{+}\left(x\right)$ це частина $\hat{\varphi }\left(x\right)$, що включає лише оператори створення $a_k^{†}$ . Для осцилятора це відповідає зміні представлення / відображення до стану |x⟩ зі станів Фока.

Для незалежного від часу гамільтоніана H, функціонал Шредінгера визначається як

$𝒮[{\varphi }_2,t_2;{\varphi }_1,t_1]=⟨{\varphi }_2|e^{-iH(t_2-t_1)/\hslash }|{\varphi }_1⟩.$

В інтерпритації Шредінгера ця функціональна залежність породжує часові трансляції функціоналів стану через

$\mathrm{\Psi }[{\varphi }_2,t_2]=\int 𝒟{\varphi }_1𝒮[{\varphi }_2,t_2;{\varphi }_1,t_1]\mathrm{\Psi }[{\varphi }_1,t_1].$

Стани

Нормалізований вакуумний стан вільного поля хвильової функціоналу є гаусівським

${\mathrm{\Psi }}_0[\varphi ]=\det {}^{\frac{1}{4}}\left(\frac{K}{\pi }\right)e^{-\frac{1}{2}\int d\overrightarrow{x}\int d\overrightarrow{y}\varphi (\overrightarrow{x})K(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\varphi (\overrightarrow{y})}=\det {}^{\frac{1}{4}}\left(\frac{K}{\pi }\right)e^{-\frac{1}{2}\varphi \cdot K\cdot \varphi },$

де коваріація K є

$K(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}{\omega }_{\overrightarrow{k}}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})}.$

Це аналогічно (перетворенню Фур'є від) добутку основного стану кожного режиму k приблизно в межі континууму (Hatfield 1992).

${\mathrm{\Psi }}_0[\tilde{\varphi }]=\underset{\mathrm{\Delta }k\to 0}{\lim }\prod _{\overrightarrow{k}}{\left(\frac{{\omega }_{\overrightarrow{k}}}{\pi }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{1}{2}{\omega }_{\overrightarrow{k}}\tilde{\varphi }(\overrightarrow{k}{)}^2\frac{\mathrm{\Delta }{k}^3}{(2\pi {)}^3}}\to \left(\prod _{\overrightarrow{k}}{\left(\frac{{\omega }_{\overrightarrow{k}}}{\pi }\right)}^{\frac{1}{4}}\right)e^{-\frac{1}{2}\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}{\omega }_{\overrightarrow{k}}\tilde{\varphi }(|\overrightarrow{k}|{)}^2}.$

Кожен режим k входить як незалежний квантовий гармонійний осцилятор. Одночастинкові стани отримуються збудженням одного режиму і мають таку форму:

$\mathrm{\Psi }[\varphi ]\propto \int d\overrightarrow{x}\int d\overrightarrow{y}\varphi (\overrightarrow{x})K(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})f(\overrightarrow{y}){\mathrm{\Psi }}_0[\varphi ]=\varphi \cdot K\cdot f{e}^{-\frac{1}{2}\varphi \cdot K\cdot \varphi }.$

Це є прикладом того, коли додавання збудження у k → 1 дає (Hatfield 1992):

${\mathrm{\Psi }}_1[\tilde{\varphi }]={\left(\frac{2{\omega }_{k_1}}{(2\pi {)}^3}\right)}^{\frac{1}{2}}\tilde{\varphi }({\overrightarrow{k}}_1){\mathrm{\Psi }}_0[\tilde{\varphi }]$

${\mathrm{\Psi }}_1[\varphi ]={\left(\frac{2{\omega }_{k_1}}{(2\pi {)}^3}\right)}^{\frac{1}{2}}\int d^{3}y{e}^{-i{\overrightarrow{k}}_1\cdot \overrightarrow{y}}\varphi (\overrightarrow{y}){\mathrm{\Psi }}_0[\varphi ].$

(Фактор $(2\pi {)}^{-3/2}$ випливає з налаштування Хетфілда $\mathrm{\Delta }k=1$ . )

Приклад: Ферміонне поле

Для наочності розглянемо безмасове поле Вейля–Майорани $\hat{\psi }(x)$ у 2D просторі в SO ⁺ (1, 1), але це рішення узагальнюється на будь-який масивний дираківський біспінор у SO ⁺ (1, 3). Простір конфігурацій складається з функціоналів $\mathrm{\Psi }[u]$ антикомутуючих полів зі значеннями Грассмана u (x). Ефект від 𝜓^ (x) поля полягає в:

$\hat{\psi }(x)|\mathrm{\Psi }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(u(x)+\frac{\delta }{\delta u(x)})|\mathrm{\Psi }⟩.$

Література

• Браян Хетфілд, Квантова теорія поля точкових частинок і струн . Еддісон Веслі Лонгман, 1992 рік. Дивіться розділ 10 «Вільні поля в представленні Шредінгера».
• Канатчиков І.В. «Доканонічне квантування та хвильовий функціонал Шредінгера». фіз. Lett. А 283 (2001) 25 – 36. Eprint arXiv:hep-th/0012084, 16 сторінок.
• R. Jackiw, "Картина Шредінгера для бозонної та ферміонної квантової теорії поля". У математичній квантовій теорії поля та споріднених темах: матеріали Монреальської конференції 1987 року, що відбулася 1–5 вересня 1987 року (ред. Дж. С. Фельдман і Л. М. Розен, Американське математичне товариство 1988).
• H. Reinhardt, C. Feuchter, "Про хвильовий функціонал Янга-Мілса в кулонівській калібруванні". фіз. Рев. Д 71 (2005) 105002. Eprint arXiv:hep-th/0408237, 9 сторінок.
• Д. В. Лонг, Г. М. Шор, «Функціональні стани хвилі Шредінгера та вакуумні стани у викривленому просторі-часі». Nucl. фіз. Б 530 (1998) 247 – 278. Eprint arXiv:hep-th/9605004, 41 сторінка.
• Курт Симанзік, "Представлення Шредінгера та ефект Казимира в перенормованій квантовій теорії поля". Nucl. фіз. Б 190 (1981) 1–44, doi:10.1016/0550-3213(81)90482-X .
• К. Симанзік, "Зображення Шредінгера в перенормованій квантовій теорії поля". Розділ «Структурні елементи у фізиці елементарних частинок і статистичній механіці», Інститути передових досліджень НАТО, серія 82 (1983) стор. 287–299, doi:10.1007/978-1-4613-3509-2_20 .
• Мартін Люшер, Раджамані Нараянан, Пітер Вайс, Уллі Вольф, «Функціонал Шредінгера — перенормований дослід для неабелевих калібрувальних теорій». Nucl. фіз. Б 384 (1992) 168–228, doi:10.1016/0550-3213(92)90466-O . Eprint arXiv:hep-lat/9207009 .
• Метью Шварц (2013). Квантова теорія поля та стандартна модель, Cambridge University Press, Ch.14.