Формула добутку корангів

Формула добутку корангів — математична формула, що виражає корозмірність множини точок, в яких ядро похідної відображення має задану розмірність, у вигляді добутку корангів даного відображення в прообразі і образі.

Формулювання

Корангом лінійного відображення $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ в прообразі (в образі) називається число $m-r$ (відповідно, $n-r$), де $r$ — ранг відображення $A$. Коранги пов'язані з розмірністю ядра $A$ (позначимо її $i$) формулами: $m-r=i$ і $n-r=n-m+i$.

Нехай $f:M^m\to N^n$ — гладке відображення гладких многовидів $M^m$ і $N^n$ розмірностей $m$ і $n$, відповідно. Символом $f_{*x}$ позначається його похідна в точці $x\in M^m$, тобто лінійне відображення дотичних просторів $f_{*x}:T_x{M}^m\to T_{f(x)}{N}^n$.

Точка $x\in M^m$ належить множині ${\mathrm{\Sigma }}^i,$ $i\ge 0,$ якщо розмірність ядра похідної $f_{*x}$ в цій точці дорівнює $i$. Множини ${\mathrm{\Sigma }}^0,\dots ,{\mathrm{\Sigma }}^m$ явно покривають весь многовид $M^m$, однак, як правило, в цьому ланцюжку не всі множини є непорожніми (наприклад, якщо $n>m$ має місце нерівність $r\le n<m$, з якої з урахуванням співвідношення $m-r=i$ випливає, що $i>0$, тобто множина ${\mathrm{\Sigma }}^0$ порожня).

Шаблон:Рамка Теорема. Для відображення $f:M^m\to N^n$ загального положення всі множини ${\mathrm{\Sigma }}^i$ є гладкими підмноговидами в $M^m$. При цьому має місце співвідношення

$m-\dim {\mathrm{\Sigma }}^i=(m-r)(n-r),$

де $r=m-i$ — ранг відображення $f_{*x},$ що називають формулою добутку корангів. Шаблон:/рамка

Обчислене за цією формулою значення $\dim {\mathrm{\Sigma }}^i$ може бути від'ємним. Це означає, що відповідна множина ${\mathrm{\Sigma }}^i$ порожня.

Наслідок. У просторі матриць типу $(m,n)$ множина матриць рангу $r$ утворює гладкий многовид корозмірності $(m-r)(n-r)$.

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.