Формула Крофтона

Формула Крофтона — класичний результат інтегральної геометрії. Пов'язує довжину кривої із середнім числом перетинів з прямими.

Названа на честь Моргана Крофтона.

Формулювання

Нехай $\gamma$ — плоска крива, яку можна спрямити. Для прямої $l$, позначимо через $n_{\gamma }(l)$ число точок, у яких $\gamma$ і $l$ перетинаются. Ми можемо параметризувати пряму $l$ напрямком $\phi$ і відстанню $p$ від початку координат. Тоді довжина кривої $\gamma$ дорівнює

$L=\frac{1}{4}\iint n_{\gamma }(\phi ,p)d\phi dp.$

При цьому диференціальна форма

$d\phi \wedge dp$

інваріантна відносно рухів площини. Таким чином, вона дає природну міру для інтегрування.

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book