Формула Діріхле

Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формула

$\sum _{n⩽N}\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(\sqrt{N}),$

де $\tau (n)$ — число дільників $n$, $\gamma$ — постійна Ейлера — Маськероні, а $O$ — O-велике.

Формула була отримана Діріхле в 1849.

Доведення

Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою $yx=N$ та осями координат.

Уточнення

В 1906 році доданок $O\left(N^{\theta }\right)$ був уточнений Серпінським до $O(\sqrt[3]{N})$, тобто $\theta =1/3$. Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат $\theta =\frac{131}{416}$ (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення $\theta$, при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж $\frac{1}{4}$).

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як $\frac{c_{1}n}{\sqrt{\ln n}}$, що було виявлено А. Карацубою. З комп'ютерних оцінок М. Корольова$c_1=\frac{1}{\pi }\prod _p(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}}\ln (1+\frac{1}{p}))\approx 0,7138067$.