Флуктуативно-дисипативна теорема

Флуктуативно-дисипативна теорема — співвідношення між величиною флуктуацій в термодинамічній системі й узагальненим відгуком системи на зовнішнє збурення.

Флуктуативно-дисипативна теорема встановлює зв'язок між середньо-квадратичним відхиленням фізичної величини $x$, $x^2$ та дисипативними властивостями середовища:

$⟨x^2⟩=\frac{\hslash }{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\alpha }^{\prime \prime }(\omega )\text{cth}\left(\frac{\hslash \omega }{2k_{B}T}\right)d\omega$,

де ${\alpha }^{\prime \prime }$ - уявна частина узагальненої сприйнятливості, $\hslash$ - зведена стала Планка, $\omega$ - частота, $k_B$ - стала Больцмана, T - температура.

Фізична природа

Флуктуаційно-дисипативна теорема є математичним узагальненням того факту, що при флуктуаціях відбуваються ті ж процеси, що й при зовнішньому збуренні системи. Флуктуації та наслідки зовнішнього збурення затухають (дисипують) схожим чином. Наприклад, при проходженні електричного струму в напівпровіднику виділяється тепло - це дисипативний процес. В напівпровіднику можуть також виникнути флуктуації концентрації носіїв заряду. Для виникнення таких флуктуацій необхідна енергія, яка надходить від теплових коливань кристалічної ґратки. При розсмоктуванні флуктуацій відбуваються ті ж процеси дисипації енергії, що й при проходженні струму. Як наслідок, енергія повертається кристалічній ґратці.

Класичний випадок

При високій температурі, коли $k_{B}T\gg \hslash \omega$ для спектральної компоненти середньо-квадратичного відхилення справедлива простіша формула:

$⟨x^2{⟩}_{\omega }=\frac{2k_{B}T}{\omega }{\alpha }^{\prime \prime }$,

яка виконується не лише у квантовому випадку, а й при класичному розгляді.

Якщо $k_{B}T\gg \hslash \omega$ справедливо для всього спектру флуктуацій, то:

$⟨x^2⟩=k_{B}T\alpha (0)$,

тобто величина флуктуацій зв'язана із статичним значенням функції відгуку.

Приклади

Прикладом флуктуативно-дисипативної теореми є співвідношення Ейнштейна:

$D=k_{B}T\mu$,

яке зв'язує коефіцієнт дифузії D та рухливість $\mu$.

Флуктуативно-дисипативну теорему сформулювали Шаблон:Li та Шаблон:Li у 1951 році.

Формула Найквіста

В 1928 р. Джон Б. Джонсон виявив, а Гаррі Найквіст пояснив явище теплового шуму. При відсутності струму, що протікає через електричний опір, середня квадратична напруга залежить від опору $R$, $k_{B}T$ та ширини частотного діапазону вимірювань $\mathrm{\Delta }\nu$ :

$⟨V^2⟩=4R{k}_{B}T\mathrm{\Delta }\nu$.

Висновок

В електричних провідниках найбільш стійкими флуктуаціями виявляються такі, що призводять до виникнення стоячих хвиль. Число стоячих електромагнітних хвиль з частотою від $\nu$ до $\nu +d\nu$ в провіднику довжиною $L$ з врахуванням поляризації рівне $dn(\nu )=2\cdot \frac{2Ld\nu }{c}$. Будемо вважати, що на кожну стоячу хвилю приходиться енергія $k_{B}T$, що відповідає енергії гармонічного осцилятора. Тоді енергія стоячих хвиль з частотою від $\nu$ до $\nu +d\nu$ буде $dE(\nu )=4\cdot \frac{L}{c}d\nu k_{B}T$. Потужність на одиницю довжини кола дорівнює $dW=\frac{dE(\nu )}{\frac{L}{c}}=4k_{B}Td\nu$. Вся енергія флуктуаційних струмів знову переходить в тепло на опорі. Втрата потужності на одиниці довжини провідника з опором $R$ по закону Джоуля-Ленца дорівнює $\frac{dW(\nu )}{d\nu }=\frac{⟨V^2⟩(\nu )}{R}$, де $⟨V^2⟩$ - середній квадрат флуктуаційної ЕРС для хвиль з частотою $\nu$. Отримуємо формулу Найквіста:

$⟨V^2⟩=4R{k}_{B}T\mathrm{\Delta }\nu$.