Узагальнений розподіл Парето

Шаблон:Розподіл ймовірностей У статистиці, в узагальнений розподіл Парето (УРП, Шаблон:Lang-en) — це сімейство неперервних імовірнісних розподілів. Він часто використовується для моделювання хвостів інших розподілів. Він визначається трьома параметрами: параметром розташування $\mu$, масштабу $\sigma$і форми $\xi$. Іноді він визначається тільки параметром масштабу і форми, а іноді тільки параметром форми. Деякі джерела подають параметр форми у вигляді $\kappa =-\xi$.

Означення

Стандартна функція розподілу УРП записується

$F_{\xi }(z)=\{\begin{array}{cc}1-{(1+\xi z)}^{-1/\xi }& \text{for }\xi \ne 0,\\ 1-e^{-z}& \text{for }\xi =0.\end{array}$

де носій $z\ge 0$ при $\xi \ge 0$ і $0\le z\le -1/\xi$ при $\xi <0$.

$f_{\xi }(z)=\{\begin{array}{cc}(\xi z+1{)}^{-\frac{\xi +1}{\xi }}& \text{for }\xi \ne 0,\\ e^{-z}& \text{for }\xi =0.\end{array}$

Характеристика

Пов'язані місцевості-масштаб сімейство розподілів, отриманих шляхом заміни аргументу Z з допомогою $\frac{x-\mu }{\sigma }$ і регулювання підтримки відповідно: кумулятивна функція розподілу це

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\{\begin{array}{cc}1-{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{-1/\xi }& \text{for }\xi \ne 0,\\ 1-\exp (-\frac{x-\mu }{\sigma })& \text{for }\xi =0.\end{array}$

для $x⩾\mu$ коли $\xi ⩾0$та $\mu ⩽x⩽\mu -\sigma /\xi$ при $\xi <0$, де $\mu \in ℝ$, $\sigma >0$ і $\xi \in ℝ$.

Функції щільності :

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{1}{\sigma }{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{(-\frac{1}{\xi }-1)}$,

або еквівалентно

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{{\sigma }^{\frac{1}{\xi }}}{{(\sigma +\xi (x-\mu ))}^{\frac{1}{\xi }+1}}$,

знову, для $x⩾\mu$ при $\xi ⩾0$, і $\mu ⩽x⩽\mu -\sigma /\xi$ при $\xi <0$.

Функція щільності є розв'язком диференційного рівняння:

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\ f(0)=\frac{{(1-\frac{\mu \xi }{\sigma })}^{-\frac{1}{\xi }-1}}{\sigma }\end{array}\right\}$

Особливі випадки

• Якщо параметри форми $\xi$ і локалізації $\mu$ обидва рівні нулю, УРП є експоненційним розподілом.
• Якщо параметр форми $\xi >0$, а параметр розташування $\mu =\sigma /\xi$, тоді УРП еквівалентний розподілу Парето з параметрами масштабу $x_m=\sigma /\xi$ і форми $\alpha =1/\xi$.
• Якщо $X$ $\sim$ $GPD$ $($$\mu =0$, $\sigma$, $\xi$ $)$тоді $Y=\log (X)$ $\sim$ $exGPD$ $($$\mu =0$, $\sigma$, $\xi$ $)$, де exGPD є експоненційний узагальнений розподіл Парето. На відміну від УРП, exGPD має моменти всіх порядків, незалежно від його параметрів та інтерпретацій параметрів масштабу і форми, що робить оцінки параметрів більш ефективними.
• УРП дуже схожий на Картавий розподілу.

Генерація узагальнено Парето розподілених випадкових величин

Якщо U є рівномірно розподіленою на (0, 1], тоді

$X=\mu +\frac{\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }\sim \text{GPD}(\mu ,\sigma ,\xi \ne 0)$

і

$X=\mu -\sigma \ln (U)\sim \text{GPD}(\mu ,\sigma ,\xi =0).$

Обидві формули отримані шляхом інверсії СГО.

У статистичних пакеті MATLAB, легко можна згенерувати вибірку узагальнено Парето розподілених випадкових чисел використовуючи команду "gprnd".

УРП як експоненційно-гамма суміш розподілів

В УРП випадкова величина може бути виражена у вигляді експоненційної випадкової величини з гамма-розподіленим параметром інтенсивности.

$X|\mathrm{\Lambda }\sim Exp(\mathrm{\Lambda })$

і

$\mathrm{\Lambda }\sim Gamma(\alpha ,\beta )$

тоді

$X\sim GPD(\xi =1/\alpha ,\sigma =\beta /\alpha )$

Однак зауважимо, що оскільки параметри гамма розподілу має бути більшим нуля, ми отримаємо додаткові обмеження: $\xi$ має бути позитивним.

Див. також

• Розподіл задирок
• Розподіл Парето
• GAV розподіл
• Пикандса–Балкемы–теорема де Хаан

Додаткова література

• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Chapter 20, Section 12: Generalized Pareto Distributions. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en

Ланки

• Mathworks: Generalized Pareto distribution