Тропічна геометрія

Тропічна пряма на площині

Тропічна геометрія — область в математиці, що з'явилася в 2000-ні, початково виникла в інформатиці, і пов'язана з алгебричною та симплектичною геометрією. Досліджувані в ній об'єкти є границею образів амеб звичайних алгебричних многовидів при виродженні останніх.Шаблон:Sfn

Назва «тропічна» віддає честь бразильській школіШаблон:Sfn — піонерським роботам бразильського математика Шаблон:Iw, який досліджував тропічне напівкільце у зв'язку з питаннями інформатики та теорії оптимізації.

Основні поняття

• Тропічне напівкільце (або тропічне напівполе) — множина дійсних чисел $ℝ$, оснащене операціями тропічного додавання $\oplus$ і тропічного множення $\odot$

$x\oplus y=\max (x,y),x\odot y=x+y.$

• Тропічний многочлен ступеня $d$ на площині — кусково-афінна функція виду

$f(x,y)=\underset{i+j\le d}{⨁}{a}_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\underset{i+j\le d}{\max }(ix+jy+a_{i,j}).$

Аналогічно, тропічний многочлен в загальному випадку — кусково-афінна функція виду

$f(x_1,\dots ,x_n)=\underset{|J|\le d}{⨁}{a}_J\odot x^{\odot J}=\underset{|J|\le d}{\max }(a_J+\sum _i{J}_i{x}_i).$

• Тропічна крива на площині, що відповідає даному тропічному многочлену $f$ ступеня $d$ — граф на площині, вершини і ребра (скінченні і нескінченні) якого утворюють множину точок негладкості функції $f$. Ребра цього графу вважаються оснащеними кратностями: ребро, що розділяє області лінійності, які відповідають набору ступенів $(i,j)$ і $(i^{\prime },j^{\prime })$, оснащується кратністю, рівною найбільшому спільному дільнику різниць $i-i^{\prime }$ і $j-j^{\prime }$.
• Зокрема, тропічна пряма є об'єднанням трьох променів, що виходять з деякої точки $(x_0,y_0)$ і спрямовані вниз, вліво і вправо-вгору під 45 градусів. Тропічні прямі мають властивості, аналогічні властивостям звичайних прямих: через будь-які дві точки загального положення проходить рівно одна тропічна пряма, і дві тропічні прямі загального положення перетинаються в єдиній точці.

Література

• Шаблон:Книга
• М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.