Тригонометричний ряд

У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:

$\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx).$

Його називають рядом Фур'є, якщо доданки $A_n$ і $B_n$ мають вигляд:

$A_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,3\dots )$

$B_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$

де $f$ є інтегровною функцією .

Нулі тригонометричного ряду

Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції $f(x)$ на інтервалі $[0,2\pi ]$, яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.

Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій $f$ відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S₀ = S і S_k+1 — похідна множина від S_k. Якщо існує скінченне число n, для якого S_n скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що S_α скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в S_α.

Див. також

• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1