Тригонометричне рівняння

Тригонометричне рівняння — рівняння, в якому змінна, яку потрібно визначити, з'являється в аргументі тригонометричних функцій. Під час розв'язування цих рівнянь корисними є співвідношення між тригонометричними функціями, особливо теореми додавання.

Кількість розв'язків

Завдяки періодичності тригонометричних функцій тригонометричні рівняння зазвичай мають нескінченну кількість розв'язків. Обмежуючи універсум «базовим інтервалом» (наприклад [0,2π] або [0,π]), можна зменшити кількість розв'язків до скінченного числа або описувати розв'язки членом періодичності (наприклад, 2πk або πk).

Приклад

Тригонометричне рівняння

$\sin x=\cos x$

можна розв'язати за допомогою співвідношення $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$. Перетворимо: Піднесемо до квадрата:

${\sin }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$

і отримаємо

$2\cdot {\sin }^{2}x=1,$

тобто

$\sin x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

з розв'язками

$x=45^{\circ }\pm k\cdot 90^{\circ }(k=0,1,2,...)$

або в радіанах

$x=\frac{\pi }{4}\pm k\cdot \frac{\pi }{2}(k=0,1,2,...).$

Оскільки піднесення до квадрата не є Шаблон:Нп, ці розв'язки слід перевірити на початковому рівнянні. Це дає дійсні розв'язки рівняння

$x=\frac{\pi }{4}\pm 2k\cdot \frac{\pi }{2}(k=0,1,2,...).$

Див. також

• Список тригонометричних тотожностей