Тотожність Вайнштейна–Айронштайна

У теорії матриць ця тотожність корисна для обчислення певних типів визначників.

Тотожність стверджує, що якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math є матрицями розмірів Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно, тоді

$\det (I_m+AB)=\det (I_n+BA),$

де Шаблон:Math — одинична матриця порядку Шаблон:Math.

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення

Тотожність можна довести таким чином. Нехай Шаблон:Math буде матрицею, що складається з чотирьох блоків Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math:

$M=\left(\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right)$.

Оскільки Шаблон:Math є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

$\det \left(\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right)=\det (I_m)\det (I_n-B{I}_m^{-1}(-A))=\det (I_n+BA)$.

Оскільки Шаблон:Math є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

$\det \left(\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right)=\det (I_n)\det (I_m-(-A)I_n^{-1}B)=\det (I_m+AB)$.

Отже,

$\det (I_n+BA)=\det (I_m+AB)$.

Див. також

• Доповнення Шура

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць