Тотожність Бохнера

Тотожність Бохнера — загальна назва сімейства тотожностей у рімановій геометрії, що пов'язують лапласіани різних типів і кривину. Тотожності, одержувані інтегруванням тотожності Бохнера, іноді називають тотожностями Рейлі.

Формулювання

Нехай $S$ — розшарування Дірака над рімановим многовидом $M$, $D$ — відповідний оператор Дірака, і тоді

$D^2\varphi ={\mathrm{\nabla }}^{*}\mathrm{\nabla }\varphi +\Re (\varphi )$

для будь-якого перерізу $\varphi :M\to S$.

Позначення

Далі $e_i$ позначає ортонормований репер у точці.

• $\mathrm{\nabla }$ позначає зв'язність на $S$, і

  ${\mathrm{\nabla }}^{*}\mathrm{\nabla }\varphi =-\sum _i{\mathrm{\nabla }}_{e_i}{\mathrm{\nabla }}_{e_i}\varphi ,$

так званий лапласіан за зв'язністю.

• $\Re$ — переріз $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(S,S)$, що визначається як

  $\Re (\varphi )=\frac{1}{2}\cdot \sum _{i,j}{e}_i.e_j.R_{e_i,e_k}\varphi ,$

де «$.$» позначає множення Кліфорда, і

$R_{X,Y}={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Y-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_X-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}$

 — перетворення кривини.

• $D$ — оператор Дірака на $S$, тобто

  $D\varphi =\sum _i{e}_i.{\mathrm{\nabla }}_{e_i}\varphi .$

і $D^2\varphi =\mathrm{\Delta }\varphi$ лапласіан Ходжа на диференціальних формах

Наслідки

• З тотожності Бохнера для градієнта функції $u$ отримуємо таку інтегральну формулу для будь-якого замкнутого многовиду

  $\underset{M}{\int }|\mathrm{\Delta }u{|}^2-\underset{M}{\int }|\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u{|}^2=\underset{M}{\int }\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$,

де $\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u$ позначає гесіан $u$.

• Якщо $u:M\to ℝ$ — гармонічна функція, то

  $\mathrm{\Delta }(\frac{1}{2}\cdot |\mathrm{\nabla }u{|}^2)=|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$,

де $\mathrm{\nabla }u$ позначає градієнт $u$. Зокрема:

• Компактні многовиди з додатною кривиною Річчі не допускають ненульових гармонічних функцій.
• Якщо $u$ — гармонічна функція на многовиді з додатною кривиною Річчі, то функція $|\mathrm{\nabla }u|$ субгармонічна.

• З формули Бохнера випливає, що на компактних многовидах з додатним оператором кривини відсутні гармонічні форми будь-якого степеня, тобто воно є раціонально гомологічною сферою.
  • Іншим методом, а саме потоком Річчі, вдалося довести що будь-який з таких многовидів дифеоморфний фактору сфери за скінченною групою.

Література

• Шаблон:Книга