Теорія плит Кірхгофа — Лява

Деформація тонкої пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червона) і нормалі до цієї серединної поверхні (синя)

Теорія пластин Кірхгофа-Лава являє собою двовимірну математичну модель, яка використовується для визначення напружень і деформацій в тонких пластинах, на які діють сили і моменти. Ця теорія, яка є продовженням Теорії балки Ейлера-Бернуллі  була розроблена в 1888 році Лавом з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Ця теорія припускає, що проміжна поверхню пластини може використовуватися для представлення тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Кінематичні припущення, прийняті в цій теорії:

• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні, залишаються перпендикулярними до серединної поверхні після деформації
• товщина пластини не змінюється в процесі деформування.

Допустимі поля зміщень

Нехай радіус-вектор точки в недеформованій пластині — $𝐱$. Тоді

$𝐱=x_1{𝒆}_1+x_2{𝒆}_2+x_3{𝒆}_3\equiv x_i{𝒆}_i.$

Вектори ${𝒆}_i$ формують прямокутну систему координат з початком координат на середині поверхні пластини, $x_1$ і $x_2$ — Декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, і $x_3$ — координата в напрямку товщини.

Нехай зміщення точки на пластині — $𝐮(𝐱)$. Тоді

$𝐮=u_1{𝒆}_1+u_2{𝒆}_2+u_3{𝒆}_3\equiv u_i{𝒆}_i$

Це переміщення можна розкласти на вектор сум серединно-поверхневих зміщень $u_{\alpha }^0$ і зміщень $w^0$ поза площиною в напрямку $x_3$.

${𝐮}^0=u_1^0{𝒆}_1+u_2^0{𝒆}_2\equiv u_{\alpha }^0{𝒆}_{\alpha }$

Зазначимо, що індекс $\alpha$ приймає значення 1 і 2, але не 3.

Тоді з гіпотези Кірхгофа випливає, що

$\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }(𝐱)& =u_{\alpha }^0(x_1,x_2)-x_3\frac{\partial w^0}{\partial x_{\alpha }}\equiv u_{\alpha }^0-x_3{w}_{,\alpha }^0;\alpha =1,2\\ u_3(𝐱)& =w^0(x_1,x_2)\end{array}$

Якщо ${\phi }_{\alpha }$ є кутами повороту нормалі до серединної поверхні, тоді в теорії Кігхгофа-Лява

${\phi }_{\alpha }=w_{,\alpha }^0$

Зазначимо, що ми можемо представити вираз для $u_{\alpha }$ як розклад у ряд Тейлора першого порядку переміщення серединної поверхні.

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Квазістатична пластина Кірхгофа-Лява

Оригінальна теорія, розроблена Лявом, була дійсна для нескінченно малих деформацій і поворотів. Теорія була розширена  Карманом, коли незначні повороти допустимі.

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно мале і повороти нормалі до поверхні становлять менше 10° відношення відносного видовження становлять Шаблон:Прояснити

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}+\frac{\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }})\equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_{\alpha }})\equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\ {\epsilon }_{33}& =\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\equiv u_{3,3}\end{array}$

З допомогою кінематичних припущень отримуємо

${\epsilon }_{\alpha \beta }=\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0)-x_3{\omega }_{,\alpha \beta }^0$

${\epsilon }_{\alpha 3}=-{\omega }_{,\alpha }^0+{\omega }_{,\alpha }^0=0$

${\epsilon }_{33}=0$

Тому існує єдина ненульова деформація в площині спрямування.

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для тонкої пластини під квазістатичним поперечним навантаженням $q(x)$ у напрямку $x_3$ ці рівняння мають вигляд:

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial N_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{21}}{\partial x_2}=0\\ & \frac{\partial N_{12}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{22}}{\partial x_2}=0\\ & \frac{{\partial }^2{M}_{11}}{\partial x_1^2}+2\frac{{\partial }^2{M}_{12}}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{M}_{22}}{\partial x_2^2}=q\end{array}$

де $2h$ - товщина пластини. В індексному представленні,

$N_{\alpha \beta ,\alpha }=0N_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3$

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0M_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3$

де ${\sigma }_{\alpha \beta }$ - напруження.

Моменти згинів і нормальні напруги

Обертальні моменти і дотичні напруги

Виведення рівнянь рівноваги при малих поворотах

Для ситуації, коли напруження і повороти пластини є незначними, внутрішня енергія становить: $\begin{array}{cc}\delta U& =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\mathit{\sigma }:\delta \mathit{ϵ}d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }\delta {\epsilon }_{\alpha \beta }d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}[\frac{1}{2}{\sigma }_{\alpha \beta }(\delta u_{\alpha ,\beta }^0+\delta u_{\beta ,\alpha }^0)-x_3{\sigma }_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha \beta }^0]d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[\frac{1}{2}{N}_{\alpha \beta }(\delta u_{\alpha ,\beta }^0+\delta u_{\beta ,\alpha }^0)-M_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha \beta }^0]d\mathrm{\Omega }\end{array}$ де товщина пластини - $2h$ напруженість і момент напруженості визначені: $N_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3;M_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3$ Інтегруємо частинами і отримуємо: $\begin{array}{cc}\delta U& =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-\frac{1}{2}(N_{\alpha \beta ,\beta }\delta u_{\alpha }^0+N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0)+M_{\alpha \beta ,\beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Omega }\\ & +\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[\frac{1}{2}(n_{\beta }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\alpha }^0+n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0)-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }\end{array}$ Симетричність тензору напруженості показує, що $N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$. Отже $\delta U=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0+M_{\alpha \beta ,\beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Omega }+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }$ Ще одне інтегрування частинами дає: $\delta U=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }\delta w^0]d\mathrm{\Omega }+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0+n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }\delta w^0-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }$ У випадку, коли немає зовнішніх сил, принцип можливих переміщень говорить, що $\delta U=0$. Рівняння рівноваги для пластини задане як: $\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }& =0\end{array}$

Граничні умови

Граничні умови, які необхідні для розв'язування рівнянь рівноваги теорії пластин можуть бути отримані з граничних умов в принципі можливих переміщень. У відсутності зовнішніх сил на границі, граничні умови

$\begin{array}{cc}{n}_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{u}_{\beta }^0\\ n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}^0\\ n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}_{,\alpha }^0\end{array}$

Основні співвідношення

Співвідношення деформації у випадку лінійної пружньої пластини задані як:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{\alpha \beta }& =C_{\alpha \beta \gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{\alpha 3}& =C_{\alpha 3\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{33}& =C_{33\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\end{array}$

Оскільки ${\sigma }_{\alpha 3}$ і ${\sigma }_{33}$ не використовуються в рівнянні рівноваги то передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на динаміку балансу та не враховуються. Решта співвідношень деформації можна записати у матричній формі

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]$

Потім,

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]d{x}_3=\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right]$

і

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]d{x}_3=-\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$

Поздовжня жорсткість є рівною

$A_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Жорсткість на згині задана величиною

${\displaystyle }$$D_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Згідно з припущень Кірхгофа-Лява сили зсуву не діють. Як результат, рівняння рівноваги використовуються для визначення сил зсуву в тонких пластинах Кірхгофа-Лява. Для ізотропних пластин рівняння виглядають

$Q_{\alpha }=-D\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}({\mathrm{\nabla }}^2{\omega }^0)$

Крім того, ці сили зсуву можуть бути виражені як 

$Q_{\alpha }=M_{,\alpha }$

де

$M=-D{\mathrm{\nabla }}^2{\omega }^0$

Малі деформації і незначні повороти

Якщо повороти нормалі до поверхні знаходяться в діапазоні від 10${\circ }^{}$ до 15${\circ }^{}$,

${\epsilon }_{\alpha \beta }=\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }{u}_{3,\beta })$

${\epsilon }_{\alpha 3}=\frac{1}{2}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })$

${\epsilon }_{33}=u_{3,3}$

За допомогою кінематичних припущень Кірхгофа-Лява отримуємо класичну теорію пластин Кармана

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0{w}_{,\beta }^0)-x_3{w}_{,\alpha \beta }^0\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =-w_{,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0=0\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Ця теорія є нелінійною через квадратичні співвідношення між деформаціями і переміщеннями.

Якщо співвідношення між деформаціями і переміщеннями взяти за Карманом, то рівняння рівноваги може бути виражена як

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }{w}_{,\beta }^0{]}_{,\alpha }-q& =0\end{array}$

Див. також

• Деформація згину
• Деформація пластин
• Відносне видовження
• Теорія пружності
• Теорія пластин
• Напруження
• Вібрація плит
• Теорія пластин Міндліна-Рейснера