Теорія пластин

Режим коливань затисненої квадратної пластини

В механіці суцільних середовищ, теорія пластин є математичним описом механіки плоских пластин, яка спирається на теорію балок. Пластини визначаються як площинні структурні елементи з невеликою товщиною порівняно з іншими вимірами. Типове відношення товщини до ширини пластини є меншим, ніж 0.1.Шаблон:Citation needed Теорія пластин використовує перевагу у геометрії для зведення  повної задачі тривимірної механіки деформівного твердого тіла до двовимірної задачі. Метою теорії пластин є обчислення деформацій і напружень у навантаженій пластині.

З численних теорій пластин, які були розроблені в кінці 19 століття, дві широко прийняті і використовуються в машинобудуванні. Це

• теорія пластин Кірхофа-Лове(класична теорія пластин)
• теорія пластин Міндліна–Рейсснера (теорія зсуву пластин першого порядку)

Теорія тонких пластин Кірхгофа — Лове

Деформації тонкої пластини. Виділені переміщення серединної поверхні (червоним) і нормалі до серединної поверхні (синім)

Теорія Кірхгофа — Лове є розширенням теорії балки Ейлера–Бернуллі на тонкі пластини. Теорія була розроблена в 1888 році Лове з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Передбачається, що серединну поверхню площини можна використати для представленняя тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Такі кінематичі припущення було прийнято у цій теорії:

• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
• прямі лінії, нормальні до серединної поверхні, залишаються нормальними до серединної поверхні після деформації
• товщина пластини не змінюється впродовж деформації.

Переміщення

Гіпотеза Кірхгофа припускає, що зміщення має вигляд

$\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }(𝐱)& =u_{\alpha }^0(x_1,x_2)-x_3\frac{\partial w^0}{\partial x_{\alpha }}=u_{\alpha }^0-x_3{w}_{,\alpha }^0;\alpha =1,2\\ u_3(𝐱)& =w^0(x_1,x_2)\end{array}$

де $x_1$ і $x_2$  - декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, $x_3$ координата, яка характеризує товщину, $u_1^0,u_2^0$- площинні переміщення серединної поверхні, $w^0$ - переміщення серединної поверхні в напрямку $x_3$. Якщо ${\phi }_{\alpha }$ кути повороту нормалі до серединної поверхні, тоді у теорії  Кірхгофа–Лове ${\phi }_{\alpha }=w_{,\alpha }^0.$

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно малі і повороти нормалі до серединної поверхні становить менше 10°, справедливими є такі співвідношення: 

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0)-x_3{w}_{,\alpha \beta }^0\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =-w_{,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0=0\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Звідси лише ненульові деформації існують в  напрямі площини.

Якщо кути повороту нормалі до серединної поверхні в діапазоні від 10° до 15°, співвідношення між деформаціями і переміщеннями можна апроксимувати використовуючи зсуву відносини можуть бути апроксимовані за допомогою напруження Кармана. Тоді кінематичні припущення теорії Кірхгофа-Лове приводить до таких співвідношень між деформаціями і переміщеннями

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0{w}_{,\beta }^0)-x_3{w}_{,\alpha \beta }^0\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =-w_{,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0=0\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Ця теорія є нелінійною через квадратичні умови співвідношень між деформаціями і переміщеннями.

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини незначні, рівняння рівноваги для ненавантаженої плити матимуть вигляд

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }& =0\end{array}$

де значення напруження і моментів напругження визначаються як

$N_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3;M_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3$

і товщина плити $2h$.  Величина ${\sigma }_{\alpha \beta }$.

Якщо існує зовнішнє навантаження на пластину  $q(x)$ по нормалі до серединної поверхні і спрямоване у додатньому $x_3$ напрямі, принцип віртуальної роботи приводить до рівнянь рівноваги

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q& =0\end{array}$

Граничні умови

Граничні умови, які необхідні, щоб розв'язати рівняння рівноваги теорії пластин, можуть бути отримані з крайових умов принципу віртуальної роботи.

Для малих деформацій і малих оборотів, граничні умови

$\begin{array}{cc}{n}_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{u}_{\beta }^0\\ n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}^0\\ n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}_{,\alpha }^0\end{array}$

Слід зауважити, що величина $n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }$ є ефективною поперечною силою.

Рівняння напруги–деформації

Рівняння напруженя–деформації для лінійної пружної пластини Кірхгофа задано як

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]$

Оскільки ${\sigma }_{\alpha 3}$ і ${\sigma }_{33}$ відсутні у рівннях рівноваги, передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на баланс системи і тому ними нехтують.

Зручніше працювати з результантами напруженя і моменту, які входять в рівняння рівноваги. Вони пов'язані з переміщеннями 

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right]$

і

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right].$

Поздовжня жорсткість - це величини

$A_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Жорсткість при згині визначається формулою

$D_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Ізотропна та однорідна пластина Кірхгофа

Для ізотропної та однорідної пластини, рівняння напружено–деформованого стану

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right].$

Моменти, що відповідають цим напруженням є

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$

Чистий згин

Переміщення $u_1^0$ і $u_2^0$ дорівнюють нулю при умові чистого згину. Для ізотропної, однорідної пластини при чистому згині основним рівнянням є

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^2\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_2^4}=0\text{where}w:=w^0.$

Індексний запис

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=0.$

У прямих тензорних позначеннях, основним рівнянням є

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=0.$

Поперечне навантаження

Для поперечно навантаженої пластини без осьових деформацій, що основне рівняння матиме вигляд

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_1^2\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x_2^4}=-\frac{q}{D}$

де

$D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}.$

Індексний запис

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=-\frac{q}{D}$

і прямий запис

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-\frac{q}{D}.$

У циліндричних координатах $(r,\theta ,z)$,  основне рівняння запишеться як

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right)\right\}\right]=-\frac{q}{D}.$

Ортотропна і однорідна пластина Кірхгофа

Для ортотропної пластини

$\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]=\frac{1}{1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}}\left[\begin{array}{ccc}{E}_1& {\nu }_{12}{E}_2& 0\\ {\nu }_{21}{E}_1& E_2& 0\\ 0& 0& 2G_{12}(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})\end{array}\right].$

Звідси,

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]=\frac{2h}{1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}}\left[\begin{array}{ccc}{E}_1& {\nu }_{12}{E}_2& 0\\ {\nu }_{21}{E}_1& E_2& 0\\ 0& 0& 2G_{12}(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})\end{array}\right]$

і

$\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}\\ D_{21}& D_{22}& D_{23}\\ D_{31}& D_{32}& D_{33}\end{array}\right]=\frac{2h^3}{3(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}\left[\begin{array}{ccc}{E}_1& {\nu }_{12}{E}_2& 0\\ {\nu }_{21}{E}_1& E_2& 0\\ 0& 0& 2G_{12}(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})\end{array}\right].$

Поперечне навантаження

Основним рівняння ортотропної пластини Кірхгофа з розподіленим поперечним нвантаженням $q$ на одиницю площі є

$D_x{w}_{,1111}^0+2D_{xy}{w}_{,1122}^0+D_y{w}_{,2222}^0=-q$

де

$\begin{array}{cc}{D}_x& =D_{11}=\frac{2h^3{E}_1}{3(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}\\ D_y& =D_{22}=\frac{2h^3{E}_2}{3(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}\\ D_{xy}& =D_{33}+\frac{1}{2}({\nu }_{21}{D}_{11}+{\nu }_{12}{D}_{22})=D_{33}+{\nu }_{21}{D}_{11}=\frac{4h^3{G}_{12}}{3}+\frac{2h^3{\nu }_{21}{E}_1}{3(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}.\end{array}$

Динаміка тонких пластин Кірхгофа

Динамічної теорії пластин визначає поширення хвиль в пластинах, а вивчення стоячих хвиль і режимів вібрації.

Основні рівняння

Основними рівняннями динаміки пластин Кірхгофа — Лове є

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\beta }& =J_1{\ddot{u}}_{\alpha }^0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)& =J_1{\ddot{w}}^0-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\end{array}$

де, для пластини з густиною $\rho =\rho (x)$,

$J_1:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho d{x}_3=2\rho h;J_3:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\rho d{x}_3=\frac{2}{3}\rho h^3$

і

${\dot{u}}_i=\frac{\partial u_i}{\partial t};{\ddot{u}}_i=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2};u_{i,\alpha }=\frac{\partial u_i}{\partial x_{\alpha }};u_{i,\alpha \beta }=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}$

На малюнках нижче показано коливання круглої пластини.

• 
  mode k = 0, p = 1
• 
  mode k = 1, p = 2

Ізотропні пластини

Основні рівняння істотно спрощені для ізотропних і однорідних пластин, у яких деформаціями у площині можна знехтувати: 

$D(\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_1^4}+2\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_1^2\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_2^4})=-q(x_1,x_2,t)-2\rho h\frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial t^2}.$

де $D$ - жорсткість згину пластини. Для однорідної пластини товщиною $2h$,

$D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}.$

У прямому записі

$D{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^2{w}^0=-q(x,y,t)-2\rho h{\ddot{w}}^0.$

Теорія Міндліна–Рейсснера для товстих пластин

В теорії товстих плит, або теорії Раймонд Міндліна і Ерік Рейснера, нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до серединної поверхні. Якщо ${\phi }_1$ і ${\phi }_2$  - кути між серединною поверхнею і віссю $x_3$

${\phi }_1\ne w_{,1};{\phi }_2\ne w_{,2}$

Тоді матиме місце гіпотеза Міндліна–Рейсснера:

$\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }(𝐱)& =u_{\alpha }^0(x_1,x_2)-x_3{\phi }_{\alpha };\alpha =1,2\\ u_3(𝐱)& =w^0(x_1,x_2)\end{array}$

Залежність між деформаціями і переміщеннями

В залежності від кількості обертання нормалей пластини, дві різні апроксимації для напружень можуть бути отримані з основних  кінематичних припущень.

Для малих деформацій і малих оборотів, відношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера запишеться у вигляді

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0)-\frac{x_3}{2}({\phi }_{\alpha ,\beta }+{\phi }_{\beta ,\alpha })\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =\frac{1}{2}(w_{,\alpha }^0-{\phi }_{\alpha })\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Поперечною деформацією, а отже, і напругою зсуву по товщині пластини не нехтують в цій теорії. Однак поперечна деформація є постійною по всій товщині плити. Це не може точним, оскільки поперечна напруга вважається параболічного навіть для пластин з простою геометрією. Для врахування неточності в поперечних деформаціях, а  поперечний коригувальний коефіцієнт ($\kappa$) застосовується так, що правильна кількість внутрішньої енергії передбачається теоретично. Тоді

${\epsilon }_{\alpha 3}=\frac{1}{2}\kappa (w_{,\alpha }^0-{\phi }_{\alpha })$

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги мають трохи різні форми залежно від передбачуваної величини згину пластини. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини є малими, рівняння рівноваги для пластини Міндліна–Рейсснера 

$\begin{array}{cc}& N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\ & M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\ & Q_{\alpha ,\alpha }+q=0.\end{array}$

Рівнодіючі поперечні сил в наведених вище рівняннях визначаються як

$Q_{\alpha }:=\kappa \underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha 3}d{x}_3.$

Крайові умови

Граничні умови позначаються у термінах граничних умов принципу віртуальної роботи.

Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, граничні умови

$\begin{array}{cc}{n}_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{u}_{\beta }^0\\ n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{\phi }_{\alpha }\\ n_{\alpha }{Q}_{\alpha }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}^0\end{array}$

Визначальні співвідношення

Рівняння напруження–деформації для лінійної пружної пластини Міндліна–Рейсснера можна подати у вигляді

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{\alpha \beta }& =C_{\alpha \beta \gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{\alpha 3}& =C_{\alpha 3\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{33}& =C_{33\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\end{array}$

Оскільки ${\sigma }_{33}$ відсутнє у рівнянні рівноваги, неявно припускається, що воно не має ніякого впливу на баланс системи і ним можна знехтувати знехтувати. Це припущення називається припущенням щодо площинного напруження. Рівняння, що залишились для ортотропного матеріалу у матричній формі можна записати як

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{C}_{11}& C_{12}& 0& 0& 0\\ C_{12}& C_{22}& 0& 0& 0\\ 0& 0& C_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& C_{55}& 0\\ 0& 0& 0& 0& C_{66}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]$

Тоді,

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& 0\\ C_{12}& C_{22}& 0\\ 0& 0& C_{66}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right]$

і

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& 0\\ C_{12}& C_{22}& 0\\ 0& 0& C_{66}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}\\ {\phi }_{2,2}\\ \frac{1}{2}({\phi }_{1,2}+{\phi }_{2,1})\end{array}\right]$

У термінах поперечного зміщення

$\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right]=\frac{\kappa }{2}\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{cc}{C}_{55}& 0\\ 0& C_{44}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{w}_{,1}^0-{\phi }_1\\ w_{,2}^0-{\phi }_2\end{array}\right]$

Поздовжня жорсткість - це величина

$A_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Жорсткість при згині визначається як

$D_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Ізотропні та однорідні пластини Міндліна–Рейсснера 

Для рівномірно щільної, однорідної і ізотропної пластини, відношення напруги і деформації у площині пластини можна подати у вигляді

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right].$

де $E$ - модуль Юнга, $\nu$ - коефіцієнт Пуассона і ${\epsilon }_{\alpha \beta }$ деформації у площині. Поперечні напруження  і деформації по товщині  пластини пов'язані рівняннями

${\sigma }_{31}=2G{\epsilon }_{31}\text{and}{\sigma }_{32}=2G{\epsilon }_{32}$

where $G=E/(2(1+\nu ))$ is the shear modulus.

Визначальні співвідношення

Співвідношення між результуючим напруженням і узагальненими переміщеннями для ізотропної пластини Міндліна–Рейсснера:

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\frac{2Eh}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2E{h}^3}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}\\ {\phi }_{2,2}\\ \frac{1}{2}({\phi }_{1,2}+{\phi }_{2,1})\end{array}\right],$

і

$\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right]=\kappa Gh\left[\begin{array}{c}{w}_{,1}^0-{\phi }_1\\ w_{,2}^0-{\phi }_2\end{array}\right].$

Жорсткість при згині визначається як 

$D=\frac{2E{h}^3}{3(1-{\nu }^2)}.$

Для плити товщиною $H$, жорсткість при згині обчислюють за формулою

$D=\frac{E{H}^3}{12(1-{\nu }^2)}.$

де $h=\frac{H}{2}$

Основні рівняння

Якщо знехтувати розширенням пластини у площині, основні рівння приймуть вигляд

$\begin{array}{cc}{M}_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }& =0\\ Q_{\alpha ,\alpha }+q& =0.\end{array}$

У термінах узагальнених деформацій $w^0,{\phi }_1,{\phi }_2$, три основні рівняння

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{\nabla }}^2(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2})=-\frac{q}{D}\\ & {\mathrm{\nabla }}^2{w}^0-\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2}=-\frac{q}{\kappa Gh}\\ & {\mathrm{\nabla }}^2(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1})=-\frac{2\kappa Gh}{D(1-\nu )}(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1}).\end{array}$

Граничні умови уздовж країв прямокутної пластини

$\begin{array}{cc}\text{simply supported}& w^0=0,M_{11}=0(\text{or}{M}_{22}=0),{\phi }_1=0(\text{or}{\phi }_2=0)\\ \text{clamped}& w^0=0,{\phi }_1=0,{\phi }_2=0.\end{array}$

Теорія Рейсснера–Штайна для ізотропних консольних пластин

Загалом, точні розв'язки для консольної пластини з використанням теорії пластин використовуються і можуть бути взяті з літератури. Рейснер і Штайн запропонували спрощену теорію для консольних пластин, що є поліпшенням у порівнянні з більш старими теоріями, як, наприклад, теорія пластин Сен-Венана.

Теорія Рейсснера-Штайна передбачає, що поперечний зсув можна подати у вигляді

$w(x,y)=w_x(x)+y{\theta }_x(x).$

Основні рівняння для пластини зводяться до звичайних диференціальних рівнянь:

$\begin{array}{cc}& bD\frac{{\mathrm{d}}^4{w}_x}{\mathrm{d}{x}^4}=q_1(x)-n_1(x)\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}-\frac{d{n}_1}{dx}\frac{d{w}_x}{dx}-\frac{1}{2}\frac{d{n}_2}{dx}\frac{d{\theta }_x}{dx}-\frac{n_2(x)}{2}\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}\\ & \frac{b^{3}D}{12}\frac{{\mathrm{d}}^4{\theta }_x}{\mathrm{d}{x}^4}-2bD(1-\nu )\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}=q_2(x)-n_3(x)\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}-\frac{d{n}_3}{dx}\frac{d{\theta }_x}{dx}-\frac{n_2(x)}{2}\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}-\frac{1}{2}\frac{d{n}_2}{dx}\frac{d{w}_x}{dx}\end{array}$

де

$\begin{array}{cc}{q}_1(x)& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}q(x,y)\text{d}y,q_2(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}yq(x,y)\text{d}y,n_1(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{n}_x(x,y)\text{d}y\\ n_2(x)& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{n}_x(x,y)\text{d}y,n_3(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{y}^2{n}_x(x,y)\text{d}y.\end{array}$

В $x=0$оскільки балка защемлена, граничні умови

$w(0,y)=\frac{dw}{dx}{|}_{x=0}=0⟹w_x(0)=\frac{d{w}_x}{dx}{|}_{x=0}={\theta }_x(0)=\frac{d{\theta }_x}{dx}{|}_{x=0}=0.$

Крайові умови у $x=a$ 

$\begin{array}{cc}& bD\frac{d^3{w}_x}{d{x}^3}+n_1(x)\frac{d{w}_x}{dx}+n_2(x)\frac{d{\theta }_x}{dx}+q_{x1}=0\\ & \frac{b^{3}D}{12}\frac{d^3{\theta }_x}{d{x}^3}+[n_3(x)-2bD(1-\nu )]\frac{d{\theta }_x}{dx}+n_2(x)\frac{d{w}_x}{dx}+t=0\\ & bD\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}+m_1=0,\frac{b^{3}D}{12}\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}+m_2=0\end{array}$

де

$\begin{array}{cc}{m}_1& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{m}_x(y)\text{d}y,m_2=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{m}_x(y)\text{d}y,q_{x1}=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{q}_x(y)\text{d}y\\ t& =q_{x2}+m_3=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{q}_x(y)\text{d}y+\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{m}_{xy}(y)\text{d}y.\end{array}$

Derivation of Reissner–Stein cantilever plate equations

The strain energy of bending of a thin rectangular plate of uniform thickness $h$ is given by $U=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}D\{{(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2})}^2+2(1-\nu )[{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\right)}^2-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}]\}\text{d}x\text{d}y$ where $w$ is the transverse displacement, $a$ is the length, $b$ is the width, $\nu$ is the Poisson's ratio, $E$ is the Young's modulus, and $D=\frac{E{h}^3}{12(1-\nu )}.$ The potential energy of transverse loads $q(x,y)$ (per unit length) is $P_q=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}q(x,y)w(x,y)\text{d}x\text{d}y.$ The potential energy of in-plane loads $n_x(x,y)$ (per unit width) is $P_n=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{n}_x(x,y){\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2\text{d}x\text{d}y.$ The potential energy of tip forces $q_x(y)$ (per unit width), and bending moments $m_x(y)$ and $m_{xy}(y)$ (per unit width) is $P_t=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}(q_x(y)w(x,y)-m_x(y)\frac{\partial w}{\partial x}+m_{xy}(y)\frac{\partial w}{\partial y})\text{d}x\text{d}y.$ A balance of energy requires that the total energy is $W=U-(P_q+P_n+P_t).$ With the Reissener–Stein assumption for the displacement, we have $U=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{bD}{24}[12{\left(\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}\right)}^2+b^2{\left(\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}\right)}^2+24(1-\nu ){\left(\frac{d{\theta }_x}{dx}\right)}^2]\text{d}x,$ $P_q=\underset{0}{\overset{a}{\int }}[(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}q(x,y)\text{d}y)w_x+(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}yq(x,y)\text{d}y){\theta }_x]dx,$ $\begin{array}{cc}{P}_n& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}[(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{n}_x(x,y)\text{d}y){\left(\frac{d{w}_x}{dx}\right)}^2+(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{n}_x(x,y)\text{d}y)\frac{d{w}_x}{dx}\frac{d{\theta }_x}{dx}\\ & +(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{y}^2{n}_x(x,y)\text{d}y){\left(\frac{d{\theta }_x}{dx}\right)}^2]\text{d}x,\end{array}$ and $\begin{array}{cc}{P}_t& =(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{q}_x(y)\text{d}y)w_x-(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{m}_x(y)\text{d}y)\frac{d{w}_x}{dx}+\left[\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}(y{q}_x(y)+m_{xy}(y))\text{d}y\right]{\theta }_x\\ & -(\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{m}_x(y)\text{d}y)\frac{d{\theta }_x}{dx}.\end{array}$ Taking the first variation of $W$ with respect to $(w_x,{\theta }_x,x)$ and setting it to zero gives us the Euler equations $\text{(1)}bD\frac{{\mathrm{d}}^4{w}_x}{\mathrm{d}{x}^4}=q_1(x)-n_1(x)\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}-\frac{d{n}_1}{dx}\frac{d{w}_x}{dx}-\frac{1}{2}\frac{d{n}_2}{dx}\frac{d{\theta }_x}{dx}-\frac{n_2(x)}{2}\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}$ and $\text{(2)}\frac{b^{3}D}{12}\frac{{\mathrm{d}}^4{\theta }_x}{\mathrm{d}{x}^4}-2bD(1-\nu )\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}=q_2(x)-n_3(x)\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}-\frac{d{n}_3}{dx}\frac{d{\theta }_x}{dx}-\frac{n_2(x)}{2}\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}-\frac{1}{2}\frac{d{n}_2}{dx}\frac{d{w}_x}{dx}$ where $\begin{array}{cc}{q}_1(x)& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}q(x,y)\text{d}y,q_2(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}yq(x,y)\text{d}y,n_1(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{n}_x(x,y)\text{d}y\\ n_2(x)& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{n}_x(x,y)\text{d}y,n_3(x)=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{y}^2{n}_x(x,y)\text{d}y.\end{array}$ Since the beam is clamped at $x=0$, we have $w(0,y)=\frac{dw}{dx}{|}_{x=0}=0⟹w_x(0)=\frac{d{w}_x}{dx}{|}_{x=0}={\theta }_x(0)=\frac{d{\theta }_x}{dx}{|}_{x=0}=0.$ The boundary conditions at $x=a$ can be found by integration by parts: $\begin{array}{cc}& bD\frac{d^3{w}_x}{d{x}^3}+n_1(x)\frac{d{w}_x}{dx}+n_2(x)\frac{d{\theta }_x}{dx}+q_{x1}=0\\ & \frac{b^{3}D}{12}\frac{d^3{\theta }_x}{d{x}^3}+[n_3(x)-2bD(1-\nu )]\frac{d{\theta }_x}{dx}+n_2(x)\frac{d{w}_x}{dx}+t=0\\ & bD\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}+m_1=0,\frac{b^{3}D}{12}\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}+m_2=0\end{array}$ where $\begin{array}{cc}{m}_1& =\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{m}_x(y)\text{d}y,m_2=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{m}_x(y)\text{d}y,q_{x1}=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{q}_x(y)\text{d}y\\ t& =q_{x2}+m_3=\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}y{q}_x(y)\text{d}y+\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}{m}_{xy}(y)\text{d}y.\end{array}$

Див. також

• Напруження
• Теорія пружності
• Деформація згину
• Теорія балки Ейлера-Бернуллі
• Теорія балки Тимошенка