Теорема про симпліційне наближення

У математиці, зокрема алгебричній топології, симпліційне наближення неперервного відображення є важливим засобом, що пов'язує комбінаторні і неперервні методи. Теорема про симпліційне наближення стверджує, що довільне неперервне відображення із скінченного симпліційного комплексу у інший симпліційний комплекс (після застосування достатню кількість разів процесу барицентричного розбиття) може бути наближено симпліційним відображенням. Теорема була доведена у 1910 році Лейтзеном Брауером для доведення топологічної інваріантності симпліційної гомології.

Твердження теореми

Якщо $g:|K|\to |L|$ є неперервним відображенням між поліедрами і симпліційний комплекс K є скінченним, то існує число $n_0$ таке, що для всіх $n⩾n_0$ існує симпліційне наближення $f:{\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K\to L$ до $g.$ Тут ${\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K$ позначає застосування n разів процесу барицентричного розбиття до симпліційного комплексу.

Доведення

Оскільки симпліційний комплекс K є скінченним, то існує максимальна розмірність його симплексів, яку позначимо m. Відкриті множини $\text{st}(a),$ для всіх вершин $a\in K$ утворюють відкрите покриття простору $|K|.$ Позначино $\mathrm{mesh}K$ діаметр цього покриття, тобто найбільший діаметр у всіх множин $\text{st}(a).$ Очевидно, що $\mathrm{mesh}K⩽2\lambda ,$ де $\lambda$ позначає найбільшу довжину 1-симплексів у комплексі K.

Нехай тепер $\mathrm{B}\mathrm{d}K$ є барицентричним розбиттям комплексу K і $\mu$ позначає найбільшу довжину його 1-симплекса. За означенням барицентричного розбиття цей 1-симплекс сполучає барицентр деякого k-симплекса (де k менше або рівне m) із барицентром деякої його r грані. Нехай $a_0,\dots ,a_k$ є вершинами відповідного k-симплекса так, що $a_0,\dots ,a_r$ є вершинами відповідної r грані. Тоді:

$\begin{array}{cc}\mu =& |\frac{1}{r+1}\sum _{i=0}^r{a}_i-\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{a}_i|=\frac{1}{k+1}|\frac{k+1}{r+1}\sum _{i=0}^r{a}_i-\sum _{j=0}^k{a}_j|=\\ & \frac{1}{k+1}\left|\sum _{j=0}^k(\frac{1}{r+1}\sum _{i=0}^r{a}_i-a_j)\right|=\frac{1}{k+1}\frac{1}{r+1}\left|\sum _{j=0}^k\sum _{i=0}^r(a_i-a_j)\right|\\ & ⩽\frac{1}{k+1}\frac{1}{r+1}\sum _{i=0}^k\sum _{i=0}^r|a_j-a_i|.\end{array}$

Але для всіх доданків $|a_j-a_i|⩽\lambda$ і цей вираз є рівний нулю для i = j. Таких доданків є r + 1, відповідно ненульових (k + 1)(r + 1) - (r + 1) = (r + 1)k.

Таким чином остаточно $\mu ⩽\frac{k}{k+1}\lambda ⩽\frac{m}{m+1}\lambda .$

Звідси $\mathrm{B}\mathrm{d}K⩽2\mu ⩽\frac{m}{m+1}\lambda .$ Повторюючи ці міркування можна одержати нерівність ${\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K⩽2\mu ⩽{\left(\frac{m}{m+1}\right)}^n\lambda .$ Зокрема для довільного $\epsilon >0$ існує таке $n_0$, що для всіх $n⩾n_0$ виконується нерівність ${\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K<\epsilon .$

Множини $g^{-1}(\text{st}(b))$ для точок $b\in L$ утворюють відкрите покриття $|K|.$ Оскільки $|K|$ є компактним простором, то згідно леми Лебега існує додатне число $\delta$ таке, що кожна множина діаметром менша $\delta$ міститься в якійсь із множин $g^{-1}(\text{st}(b))$. Із попереднього існує таке $n_0$, що для всіх $n⩾n_0$ виконується нерівність ${\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K<\delta .$ Звідси для кожної вершини $a\in {\mathrm{B}\mathrm{d}}^{n}K$ існує вершина $b\in L$ така, що $g(\text{st}(a))\subset \text{st}(b).$

Згідно із властивістю симпліційних наближень у статті Симпліційне відображення, якщо взяти $f(a)=b$ і лінійно продовжити на симплексах, то f буде симпліційним відображенням і симпліційним наближенням до g. Воно і буде симпліційним наближенням із твердження теореми.

Див. також

• Лема Лебега
• Симпліційне відображення
• Симпліційний комплекс

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3