Теорема про бісектрису

Теорема про бісектрису — теорема планіметрії, яка пов'язує довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону, до якої вона проведена, та довжини прилеглих сторін даного трикутника.

Шаблон:Теорема Справедлива і обернена теорема: якщо на стороні $BC$ трикутника $ABC$ обрано точку $D$ так, що $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, то відрізок $AD$ — бісектриса кута $\mathrm{\angle }A$ трикутника $ABC$. Це можна легко довести методом від супротивного.

Доведення (методом пропорційних відрізків)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом пропорційних відрізків)

Нехай дано трикутник $ABC$, $AD$ — бісектриса кута $\mathrm{\angle }A$. Через точку $B$ проведемо пряму, паралельну прямій $AD$ і нехай проведена пряма перетинає пряму $AC$ в точці $E$.

На зображенні кути $2$ та $3$ рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $AD$ і $BE$ та січній $AB$; кути $1$ та $4$ рівні як відповідні при паралельних прямих $AD$ і $BE$ та січній $AE$. Проте кути $1$ та $2$ рівні, оскільки $AD$ — бісектриса кута $\mathrm{\angle }A$. Звідси маємо, що всі кути $1$, $2$, $3$ та $4$ рівні між собою. Звідси маємо, що трикутник $ABE$ рівнобедрений, тобто $AE=AB$.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо: $\frac{CD}{AC}=\frac{DB}{AE}$. Але $AE=AB$, тому $\frac{CD}{AC}=\frac{DB}{AB}$, звідки остаточно$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Теорему доведено.

Доведення (методом площ)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом площ)

Нехай дано трикутник

$ABC$

,

$AD$

 — бісектриса кута

$\mathrm{\angle }A$

. Знайдемо площі трикутників

$ABD$

та

$ADC$

. Для цього скористаємося двома формулами для знаходження площ:

$S=\frac{1}{2}a{h}_a$, де $a$ — сторона трикутника, а $h_a$ — висота, опущена на цю сторону;

$S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$, де $b$ та $c$ — сторони трикутника, $\alpha$ — кут між цими сторонами.

З першої формули маємо, що $S_{ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AE$, а $S_{ADC}=\frac{1}{2}CD\cdot AE$, де $AE$ — висота трикутника $ABC$, яка є також і висотою трикутників $ABD$ та $ADC$. Звідси $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}BD\cdot AE}{\frac{1}{2}CD\cdot AE}=\frac{BD}{DC}$.

З другої формули отримуємо, що $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \mathrm{\angle }BAD$ та $S_{ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \mathrm{\angle }DAC$. Звідси $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \mathrm{\angle }BAD}{\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \mathrm{\angle }DAC}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }BAD}{AC\sin \mathrm{\angle }DAC}$. Оскільки $AD$ — бісектриса кута $\mathrm{\angle }A$, то $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }DAC$, звідки $\sin \mathrm{\angle }BAD=\sin \mathrm{\angle }DAC$, а тому остаточно $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{AB}{AC}$.

Вище доведено, що $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}$ та $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{AB}{AC}$, а тому $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Теорему доведено.

Узагальнення теореми

Якщо пряма $AD$ не обов'язково є бісектрисою, то з вище викладених міркувань випливає, що $\frac{BD}{DC}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }BAD}{AC\sin \mathrm{\angle }DAC}$.

Література

• Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.  ISBN 978-966-474-012-5