Теорема двоїстості Фенхеля

Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика Шаблон:Нп .

Нехай ƒ — Шаблон:Не перекладено на ${ℝ}^n$, а g — власна увігнута функція на ${ℝ}^n$. Тоді, якщо задоволені умови регулярності,

$\underset{x}{\inf }(f(x)-g(x))=\underset{p}{\sup }(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).$

де $f^{\star }$ є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а $g_{\star }$ — увігнутим спряженням функції g. Тобто,

$f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \{⟨x^{*},x⟩-f\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

$g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \{⟨x^{*},x⟩-g\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

Математична теорема

Нехай X і Y — банахові простори, $f:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ і $g:Y\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ — опуклі функції, а $A:X\to Y$ — обмежене лінійне відображення. Тоді задачі Фенхеля

$p^{*}=\underset{x\in X}{\inf }\{f(x)+g(Ax)\}$

$d^{*}=\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }\{-f^{*}(A^{*}{y}^{*})-g^{*}(-y^{*})\}$

задовольняють слабкій двоїстості, тобто $p^{*}⩾d^{*}$ . Зауважимо, що $f^{\star },g^{\star }$ є опуклими спряженнями функцій f і g відповідно, а $A^{*}$ є спряженим оператором. Шаблон:Не перекладено для цієї двоїстої задачі задає формула $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$ .

Припустимо, що f, g і A задовольняє або

1. f і g напівнеперервні знизу і $0\in \mathrm{core}(\mathrm{dom}g-A\mathrm{dom}f)$, де $\mathrm{core}$ — Шаблон:Не перекладено , а $\mathrm{dom}h$ де h — деяка функція, є множиною $\{z:h(z)<+\mathrm{\infty }\}$, або
2. $A\mathrm{dom}f\cap \mathrm{cont}g\ne \mathrm{\varnothing }$, де $\mathrm{cont}$ — це точки, де функція неперервна.

Тоді має місце сильна двоїстість, тобто $p^{*}=d^{*}$. Якщо $d^{*}\in ℝ$, то супремум досягаєтьсяШаблон:Sfn.

Одновимірна ілюстрація

На малюнку ілюструється задача мінімізації в лівій частині рівності. Шукається значення змінної x, такої, що вертикальна відстань між опуклою і увігнутою кривою в точці x настільки мала, наскільки можливо. Положення вертикальної прямої на малюнку (приблизно) оптимальне.

Наступний малюнок ілюструє задачу максимізації у правій частині рівності. Дотичні, проведені до кожної кривої, мають однаковий нахил p. Задача полягає в уточненні значення p так, щоб дві дотичні були якнайдалі одна від одної (точніше так, щоб точки перетину їх із віссю y були якнайдалі одна від одної). Механічно, можна уявити дотичні як металеві стрижні, з'єднані вертикальними пружинами, які їх розштовхують, а параболи обмежують положення стрижнів.

Теорема Фенхеля стверджує, що ці дві задачі мають один і той самий розв'язок. Точки, що мають мінімальне вертикальне розділення, також є точками дотику для максимально розсунутих паралельних дотичних.

Див. також

• Перетворення Лежандра
• Опукле спряження
• Теорема Моро
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга