Теорема відповідності (теорія груп)

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нехай N це нормальна підгрупа G і нехай H буде підгрупою G, що містить N. Тоді відображення

ψ:{підгрупи G, що містять N}→{підгрупи G/N},H↦ψ(H)=H/N — бієкція.

Також, H це нормальна підгрупа G тоді й лише тоді, якщо H/N це нормальна підгрупа G/N.

Доведення

Спочатку доведемо, що ψ — це бієкція.

Ін'єктивність. Якщо H1/N=H2/N, тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого h1∈H1 ми маємо h1N=h2N для певного h2∈H2, з чого випливає, що h2−1h1∈N⊂H2, отже h1∈H2, що доводить, що H1⊆H2. Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що H1=H2.
Сюр'єктивність. Нехай Q буде підгрупою G/N і нехай π:G→G/N буде канонічною проєкцією. Тоді,
π−1(Q)={a∈G,aN∈Q}.
Це підгрупа G, що містить N і
ψ(π−1(Q))={aN,aN∈Q}=Q.

Залишилось довести, що H⊴G⟺H/N⊴G/N. Припустимо, що H⊴G. Для кожного a∈G, нам потрібно показати, що

(aN)(H/N)(aN)−1=H/N.

Тепер для будь-якого hN∈H/N, маємо

(aN)(hN)(aN)−1=(aha−1)N∈H/N

і це все, що нам треба. У зворотному напрямку, припустимо, що H/N⊴G/N. Розглянемо гомоморфізм

a↦(aN)(H/N),

який є композицією канонічної проєкції π:G→G/N і канонічної проєкції G/N на (G/N)/(H/N) (остання можлива оскільки H/N⊴G/N). Зараз ми хочемо показати, що H це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.

Елемент a належить ядру тоді й лише тоді, коли (aN)(H/N)=H/N, тобто тоді й лише тоді, коли aN∈H/N, або ж aN=hN для деякого h∈H. Оскільки N міститься в H, це значить, що aN також міститься в H, а значить і a, що ми й хотіли довести.

У теорії кілець

Якщо ℐ це двосторонній ідеал кільця R, тоді канонічне відображення

τ:R→R/ℐ

встановлює відповідність один-до-одного між

  • множиною підкілець R, що містять ℐ і множиною підкілець R/ℐ,
  • множиною ідеалів R, що містять ℐ і множиною всіх ідеалів R/ℐ.

Див. також

Джерела

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Теорема_відповідності_(теорія_груп)&oldid=6681