Теорема Штольца

У математиці, теорема Штольца—Цезаро це критерій для доведення збіжності послідовності. Теорема названа на честь математиків Отто Штольца і Шаблон:Нп, які вперше сформулювали її та довели.

Теорему Штольца-Цезаро можна розглядати, як узагальнення Шаблон:Нп, а також як правило Лопіталя для послідовностей.

Формулювання теореми для випадку Шаблон:Math

Нехай $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ і $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$ дві послідовності дійсних чисел. Вважаючи, що $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$ строго монотонна і розбіжна послідовність (тобто строго зростаюча і прямує до $+\mathrm{\infty }$, або строго спадаюча і прямує до $-\mathrm{\infty }$) і існує наступна границя:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.$

Тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=l.$

Формулювання теореми для випадку Шаблон:Math

Нехай $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ і $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$дві послідовності дійсних чисел, причому $\{a_n\}\to 0$ та $\{b_n\}\to 0$ та $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$ строго монотонна. Якщо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,$

то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=l.$

Доведення

Доведення теореми для випадку Шаблон:Math

Випадок 1: Нехай $\{b_n\}$ строго зростаюча і розбіжна до $+\mathrm{\infty }$, $l<\mathrm{\infty }$. За припущенням маємо, що для всіх $\frac{\epsilon }{2}>0$ існує $\nu >0$ таке, що $\mathrm{\forall }n>\nu$

$|\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l|<\frac{\epsilon }{2},$

тобто

$l-\frac{\epsilon }{2}<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<l+\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n>\nu .$

Оскільки $\{b_n\}$ строго зростаюча, $b_{n+1}-b_n>0$, то виконується нерівність

$(l-\frac{\epsilon }{2})(b_{n+1}-b_n)<a_{n+1}-a_n<(l+\frac{\epsilon }{2})(b_{n+1}-b_n),\mathrm{\forall }n>\nu$.

Далі зауважимо, що

$a_n=[(a_n-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

таким чином, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків у квадратних дужках, отримуємо

$\begin{array}{cc}& (l-\frac{\epsilon }{2})(b_n-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\frac{\epsilon }{2})[(b_n-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_n\\ & a_n<(l+\frac{\epsilon }{2})[(b_n-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\frac{\epsilon }{2})(b_n-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{array}$

Тепер, оскільки $b_n\to +\mathrm{\infty }$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то існує $n_0>0$ таке, що $b_n⪈0$ для всіх $n>n_0$, і можемо поділити обидві нерівності на $b_n$ для всіх $n>\max \{\nu ,n_0\}$

$(l-\frac{\epsilon }{2})+\frac{a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\frac{\epsilon }{2})}{b_n}<\frac{a_n}{b_n}<(l+\frac{\epsilon }{2})+\frac{a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\frac{\epsilon }{2})}{b_n}.$

Дві послідовності (які визначені лише для $n>n_0$ оскільки має існувати $N\le n_0$ таке, що $b_N=0$)

$c_n^{\pm }:=\frac{a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \frac{\epsilon }{2})}{b_n}$

нескінченно малі оскільки $b_n\to +\mathrm{\infty }$ а чисельник — це стала. Отже, для всіх $\frac{\epsilon }{2}$ існує $n_{\pm }>n_0>0$, таке, що

$\begin{array}{cc}& |c_n^{+}|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n>n_{+},\\ & |c_n^{-}|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n>n_{-},\end{array}$

Таким чином,

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_n^{-}<\frac{a_n}{b_n}<l+\frac{\epsilon }{2}+c_n^{+}<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,n_{\pm }\}=:N>0,$

що завершує доведення. Випадок, коли послідовність $\{b_n\}$ строго спадна і розбіжна до $-\mathrm{\infty }$, $l<\mathrm{\infty }$ розглядається аналогічно.

Випадок 2: Нехай $\{b_n\}$ — строго зростаюча і розбіжна, $l=+\mathrm{\infty }$. Продовжуючи, як і раніше, для всіх $\frac{3}{2}M>0$ для яких існує $\nu >0$ таких, що $n>\nu$

$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}>\frac{3}{2}M.$

Знову ж таки, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків всередині квадратних дужок, отримуємо

$a_n>\frac{3}{2}M(b_n-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\mathrm{\forall }n>\nu ,$

і

$\frac{a_n}{b_n}>\frac{3}{2}M+\frac{a_{\nu +1}-\frac{3}{2}M{b}_{\nu +1}}{b_n},\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,n_0\}.$

Послідовність $\{c_n{\}}_{n>n_0}$ визначена як

$c_n:=\frac{a_{\nu +1}-\frac{3}{2}M{b}_{\nu +1}}{b_n}$

нескінченно мала, таким чином,

$\mathrm{\forall }M/2>0\mathrm{\exists }\overline{n}>n_0>0\text{ таке, що}-M/2<c_n<M/2,\mathrm{\forall }n>\overline{n}.$

Комбінуючи цю нерівність з попередньою, робимо висновок, що

$\frac{a_n}{b_n}>\frac{3}{2}M+c_n>M,\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,\overline{n}\}=:N.$

Так само доводяться випадки, коли $\{b_n\}$ строго зростаюча або спадаюча і прямує до $+\mathrm{\infty }$ або $-\mathrm{\infty }$ відповідно $l=\pm \mathrm{\infty }$.

Доведення теореми для випадку Шаблон:Math

Випадок 1: спочатку розглядаємо випадок коли $l<\mathrm{\infty }$ і $\{b_n\}$ строго зростаюча. Цього разу, для кожного $m>0$, можемо записати

$a_n=(a_n-a_{n-1})+\dots +(a_{m+\nu +1}-a_{m+\nu })+a_{m+\nu },$

і

$\begin{array}{cc}& (l-\frac{\epsilon }{2})(b_n-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}=(l-\frac{\epsilon }{2})[(b_n-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}<a_n\\ & a_n<(l+\frac{\epsilon }{2})[(b_n-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}=(l+\frac{\epsilon }{2})(b_n-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}.\end{array}$

Дві послідовності

$c_m^{\pm }:=\frac{a_{\nu +m}-b_{\nu +m}(l\pm \epsilon /2)}{b_n}$

є наскінченно малими за припущенням $a_m,b_m\to 0$, тому для всіх $\frac{\epsilon }{2}>0$ існують такі $n^{\pm }>0$ що

$\begin{array}{cc}& |c_m^{+}|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }m>n_{+},\\ & |c_m^{-}|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }m>n_{-}.\end{array}$

Отже, вибираючи $m$ відповідним чином (тобто, переходячи до границі відносно $m$) отримуємо

$l-\epsilon <l-\frac{\epsilon }{2}+c_m^{-}<\frac{a_n}{b_n}<l+\frac{\epsilon }{2}+c_m^{+}<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,n_0\},$

що і завершує доведення.

Випадок 2: вважаємо, що $l=+\mathrm{\infty }$ і $\{b_n\}$ строго зростаюча. Для всіх $\frac{3}{2}M>0$ існує таке $\nu >0$ що для всіх $n>\nu$

$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}>\frac{3}{2}M.$

Тоді для кожного $m>0$

$\frac{a_n}{b_n}>\frac{3}{2}M+\frac{a_{\nu +m}-\frac{3}{2}M{b}_{\nu +m}}{b_n},\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,n_0\}.$

Послідовність

$c_m:=\frac{a_{\nu +m}-\frac{3}{2}M{b}_{\nu +m}}{b_n}$

збігається до $0$ (для фіксованого $n$), тому

$\mathrm{\forall }M/2>0\mathrm{\exists }\overline{n}>0\text{ такий, що }-M/2<c_m<M/2,\mathrm{\forall }m>\overline{n},$

і, вибираючи зручне для нас $m$ завершуємо доведення

$\frac{a_n}{b_n}>\frac{3}{2}M+c_m>M,\mathrm{\forall }n>\max \{\nu ,n_0\}.$

Приклади та застосування

Ця теорема для випадку $\cdot /\mathrm{\infty }$ має декілька наслідків, які корисно використовувати для обчислення границь.

Середнє арифметичне

Нехай $\{x_n\}$ — послідовність дійсних чисел, яка збігається до $l$. Розглянемо послідовності

$a_n:=\sum _{m=1}^n{x}_m=x_1+\dots +x_n,b_n:=n$,

тоді $\{b_n\}$ строго зростає і прямує до $+\mathrm{\infty }$. Тепер обчислюємо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=l$,

тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_1+\dots +x_n}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n.$

Якщо для послідовністі

$(x_n{)}_{n\ge 1}$

дійсних чисел існує границя

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_1+\dots +x_n}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n.$

Середнє геометричне

Нехай $\{x_n\}$ — послідовність додатних дійсних чисел, яка прямує до $l$ і визначена як

$a_n:=\log (x_1\cdots x_n),b_n:=n.$

Знову обчислимо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log \left(\frac{x_1\cdots x_{n+1}}{x_1\cdots x_n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log (x_{n+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log (x_n)=\log (l),$

де використано неперервність логарифмічної функції. Таким чином,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (x_1\cdots x_n)}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log ((x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}})=\log (l),$

оскільки логарифм неперервний і ін'єктивний, то можна зробити висновок, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$.

Якщо задано послідовність

$\{x_n{\}}_{n\ge 1}$

(строго) додатних чисел і існує границя

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$,

тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n.$

Нехай задано послідовність $\{y_n{\}}_{n\ge 1}$ і потрібно обчислити

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{y_n}.$

Поклавши $y_0=1$ and $x_n=y_n/y_{n-1},$ отримаємо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{y_1\dots y_n}{y_0\cdot y_1\dots y_{n-1}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{y_n},$

та застосувавши вищезазначену властивість, маємо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{y_n}{y_{n-1}}.$

Ця форма, як правило, є найбільш корисною для обчислення границь:

Якщо дана послідовність

$\{y_n{\}}_{n\ge 1}$

(строго) додатних чисел і існує границя

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{y_{n+1}}{y_n}$

тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{y_{n+1}}{y_n}.$

Приклади

Приклад 1

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n}=1.$

Приклад 2

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1{)}^{n+1}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}=\frac{1}{\mathrm{e}}.\end{array}$

Використали те, що $\mathrm{e}$ можна представити у вигляді границі послідовності.

Приклад 3

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n!)}{n\log (n)}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log ((n+1)!)-\log (n!)}{(n+1)\log (n+1)-n\log (n)}=\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log \frac{(n+1)!}{n!}}{\log \frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n+1)}{\log ((n+1)(1+\frac{1}{n}{)}^n)}=\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n+1)}{\log ((n+1)e)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n+1)}{\log (n+1)+1}=1.\end{array}$

Використали те, що $\mathrm{e}$ можна представити у вигляді границі послідовності.

Приклад 4

Розглянемо послідовність

$a_n=(-1{)}^n\frac{n!}{n^n}$.

Перепишемо її у вигляді

$a_n=b_n\cdot c_n,b_n:=(-1{)}^n,c_n:={\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\right)}^n,$

послідовність $(b_n)$ обмежена (і знакопереміжна), у той час як

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\right)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1/\mathrm{e}{\mathrm{)}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$

Це випливає з добре відомої границі, тому що $\frac{1}{\mathrm{e}}<1$; тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-1{)}^n\frac{n!}{n^n}=0.$

Історія

Випадок $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ був сформульований і доведений на сторінках 173—175 книжки Штольца 1885 року, а також на 54 сторінці статті Цезаро 1888 року.

Вона з'явилась як задача 70 в Pólya and Szegő (1925).

Загальна форма

Твердження

Загальне формулювання теореми Штольца—Цезаро наступне: якщо $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ і $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$дві послідовності, причому $\{b_n{\}}_{n\ge 1}$ монотонна і необмежена, тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$

Доведення

Замість того щоб доводити попереднє твердження, доведемо трохи інше; спочатку введемо позначення: нехай $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ будь-яка послідовність, тоді її часткова сума матиме вигляд $A_n:=\sum _{m\ge 1}^n{a}_m$. Еквівалентним твердженням, яке доведемо, є:

Нехай

$\{a_n{\}}_{n\ge 1},\{b_n{\}}_{\ge 1}$

будь-які послідовності дійсних чисел такі, що

• $b_n>0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$,
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=+\mathrm{\infty }$,

тоді

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{A_n}{B_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}.$

Доведення еквівалентного твердження

Спочатку відмітимо, що:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{A_n}{B_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}$ за означенням верхньої та нижньої границь;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{A_n}{B_n}$ виконується тоді і тільки тоді, коли $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}$ because $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(-x_n)$ тому що $(x_n{)}_{n\ge 1}$.

Тоді достатньо показати, що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}$. Якщо $L:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=+\mathrm{\infty }$то можемо припустити $L<+\mathrm{\infty }$ (він може бути як скінченним, так і$-\mathrm{\infty }$).За означенням $\mathrm{lim\; sup}$,для всіх $l>L$ існує таке натуральне число $\nu >0,$ що

$\frac{a_n}{b_n}<l,\mathrm{\forall }n>\nu .$

Використаємо цю нерівність щоб записати

$A_n=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_n<A_{\nu }+l(B_n-B_{\nu }),\mathrm{\forall }n>\nu ,$

Так як $b_n>0$, то також маємо $B_n>0$ і можемо поділити на $B_n$ щоб отримати

$\frac{A_n}{B_n}<\frac{A_{\nu }-l{B}_{\nu }}{B_n}+l,\mathrm{\forall }n>\nu .$

Так як $B_n\to +\mathrm{\infty }$ при $n\to +\mathrm{\infty }$, о послідовність

$\frac{A_{\nu }-l{B}_{\nu }}{B_n}\to 0\text{ при }n\to +\mathrm{\infty }\text{ ( }\nu \text{ фіксоване)},$

і отримаємо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}\le l,\mathrm{\forall }l>L,$

За означенням точної верхньої границі, це означає, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{A_n}{B_n}\le L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n},$

що й треба було довести.

Доведення початкового твердження

Тепер візьмемо такі $\{a_n\},\{b_n\}$ як у загальному формулюванні теореми Штольца-Цезаро і визначимо

${\alpha }_1=a_1,{\alpha }_k=a_k-a_{k-1},\mathrm{\forall }k>1{\beta }_1=b_1,{\beta }_k=b_k-b_{k-1}\mathrm{\forall }k>1.$

Так як $(b_n)$ строго монотонна (можна припустити, що вона строго зростаюча), ${\beta }_n>0$для всіх $n,$ оскільки $b_n\to +\mathrm{\infty }$ то${\mathrm{B}}_n=b_1+(b_2-b_1)+\dots +(b_n-b_{n-1})=b_n\to +\mathrm{\infty }.$Таким чином, можемо застосувати щойно доведену теорему для $\{{\alpha }_n\},\{{\beta }_n\}$ (і для їх часткових сум $\{{\mathrm{A}}_n\},\{{\mathrm{B}}_n\}$)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{{\mathrm{A}}_n}{{\mathrm{B}}_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{{\alpha }_n}{{\beta }_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}},$

отримали те, що і треба було довести.

Див. також

• Збіжний ряд
• Границя послідовності
• Диференціальне числення

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, Шаблон:Isbn, pp. 59-62 Шаблон:Webarchive
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR Шаблон:Webarchive)

Зовнішні лінки

• l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com Шаблон:Webarchive