Теорема Кантора — Гейне

Шаблон:Інші значення Теорема Кантора — Гейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.

Формулювання

Нехай дано два метричних простори $(X,{\varrho }_X)$ і $(Y,{\varrho }_Y).$ Нехай також дано компактну підмножину $K\subset X$ і визначено на ній неперервну функцію $f:K\to Y,f\in C(K).$ Тоді $f$ рівномірно неперервна на $K.$.

Зауваження

• Зокрема, неперервна дійснозначна функція, визначена на відрізку, $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ$ рівномірно неперервна на ньому.
• В умовах теореми компакт не можна замінити на довільну відкриту множину. Наприклад, функція

$f(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)$

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною.

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1