Теорема Гуревича

У математиці теорема Гуревича є важливим твердженням у алгебричній топології, що пов'язує групи гомотопій і гомологій за допомогою відображення, що називається гомоморфізмом Гуревича. Теорема названа на честь Вітольда Гуревича.

Твердження теореми

Абсолютна версія

Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа n існує гомоморфізм груп

$h_{*}:{\pi }_n(X)\to H_n(X),$

що називається гомоморфізмом Гуревича і відображає n-ну група гомотопій у n-ну групу гомологій (із цілочисловими коефіцієнтами). Гомоморфізм Гуревича задається у такий спосіб: нехай $u_n\in H_n(S^n)$ є канонічним генератором (група $H_n(S^n)$ є ізоморфною адитивній групі цілих чисел і має два генератори) і елемент $[f]\in {\pi }_n(X)$ є класом еквівалентності відображення $f:S^n\to X.$ Тоді відображення f породжує відображення $f_{*}:H_n(S^n)\to H_n(X)$ і за означенням $h_{*}([f])=f_{*}(u_n)\in H_n(X).$

Теорема Гуревича стверджує, що для $n=1$ цей гомоморфізм породжує ізоморфізм

${\tilde{h}}_{*}:{\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]\to H_1(X)$

між абелізацією першої групи гомотопій (фундаментальної групи) і першою групою гомологій.

Для $n\ge 2$ у випадку, якщо X є $(n-1)$-зв'язаним простором (тобто ${\pi }_i(X)\cong 0,1\le i\le n-1$), відображення Гуревича $h_{*}:{\pi }_n(X)\to H_n(X)$ є ізоморфізмом, а відображення Гуревича $h_{*}:{\pi }_{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ є епіморфізмом

Відносна версія

Для будь-якої пари топологічних просторів $(X,A)$ і цілого числа $k>1$ існує гомоморфізм

$h_{*}:{\pi }_k(X,A)\to H_k(X,A)$

із відносних груп гомотопій у відносні групи гомологій. Відносна теорема Гуревича стверджує, що якщо $X$ і $A$ є зв'язаними і пара цих просторів є $(n-1)$-зв'язаною (тобто ${\pi }_i(X,A)\cong 0,1\le i\le n-1$), то $H_k(X,A)=0$ для $k<n$ і $H_n(X,A)$ одержується із ${\pi }_n(X,A)$ факторизацією дії групи ${\pi }_1(A)$. Доведення цього варіанту теореми є у, наприклад, книзі Шаблон:Harvtxt.

Версія для трійок просторів

Для кожної трійки просторів $(X;A,B)$ (тобто простору X і підпросторів A, B) і цілого числа $k>2$ існує гомоморфізм

$h_{*}:{\pi }_k(X;A,B)\to H_k(X;A,B)$

із групи гомотопій трійки у групу гомологій трійки. У цьому випадку також

$H_k(X;A,B)\cong H_k(X\cup (C(A\cup B))).$

Теорема Гуревича для трійок просторів стверджує, що якщо X, A, B і $C=A\cap B$ є зв'язаними просторами, пари просторів $(A,C)$ і $(B,C)$ є $(p-1)$-зв'язаними і $(q-1)$-зв'язаними відповідно і трійка $(X;A,B)$ є $(p+q-2)$-зв'язаною, тоді $H_k(X;A,B)=0$ для всіх $k<p+q-2$ і $H_{p+q-1}(X;A)$ одержується із ${\pi }_{p+q-1}(X;A,B)$ факторизацією дій групи ${\pi }_1(A\cap B)$ і узагальнених груп Вайтгеда. Доведення цього твердження використовує теореми вищого порядку типу ван Кампена для гомотопічних груп трійок, при чому використовується поняття ${\mathrm{cat}}^n$-групи n-куба просторів.

Версія для симпліційних множин

Варіант теореми Гуревича можна також дати для n-зв'язаних симпліційних множин, що задовольняють умову Кана.

Раціональна теорема Гуревича

Раціональна теорема Гуревича: Нехай X є однозв'язаним топологічним простором, для якого ${\pi }_i(X)\otimes \mathbb{Q}=0$ для $i\le r$. Відображення Гуревича

$h\otimes \mathbb{Q}:{\pi }_i(X)\otimes \mathbb{Q}⟶H_i(X;\mathbb{Q})$

породжує ізоморфізм для $1\le i\le 2r$ і є сюр'єктивним для $i=2r+1$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Сингулярні гомології
• Фундаментальна група

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation