Теорема Гельдера

У математиці теорема Гельдера стверджує, що гамма-функція не задовольняє жодного Шаблон:Нп, коефіцієнти якого є раціональними функціями. Вперше цей результат довів Отто Гельдер в 1887 році; згодом було знайдено декілька альтернативних доведень.

Теорема також узагальнюється на випадок $q$-гамма-функції.

Формулювання теореми

Для будь-якого $n\in {\mathbb{N}}_0$ не існує ненульового многочлена

$P\in ℂ[X;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]$

такого, що

$\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus {\mathbb{Z}}_{\le 0}:P(z;\mathrm{\Gamma }(z),{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z),\dots ,{\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z))=0,$

де $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функція.

Наприклад, визначимо $P\in ℂ[X;Y_0,Y_1,Y_2]$ як

$P\stackrel{\text{df}}{=}{X}^2{Y}_2+X{Y}_1+(X^2-{\nu }^2)Y_0.$

Тоді рівняння

$P(z;f(z),f^{\prime }(z),f^{″}(z))=z^2{f}^{″}(z)+z{f}^{\prime }(z)+(z^2-{\nu }^2)f(z)\equiv 0$

називається алгебраїчним диференціальним рівнянням, яке в даному випадку має розв'язки $f=J_{\nu }$ та $f=Y_{\nu }$ — функції Бесселя першого та другого роду відповідно; розв'язки $J_{\nu }$ та $Y_{\nu }$ називаються диференціально алгебраїчними (або алгебраїчно трансцендентними). Більшість знайомих спеціальних функцій математичної фізики є диференціально алгебраїчними. Усі алгебраїчні комбінації диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Крім того, усі композиції диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Теорема Гельдера просто стверджує, що гамма-функція $\mathrm{\Gamma }$ не є диференціально алгебраїчною і, отже, Шаблон:Нп.

Доведення

Нехай $n\in {\mathbb{N}}_0$ і існує ненульовий многочлен $P\in ℂ[X;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]$ такий, що

$\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus {\mathbb{Z}}_{\le 0}:P(z;\mathrm{\Gamma }(z),{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z),\dots ,{\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z))=0.$

Оскільки ненульовий многочлен в $ℂ[X]$ ніколи не може бути нульовою функцію на будь-якій непорожній відкритій області в $ℂ$ (за основною теоремою алгебри), то не втрачаючи загальності можна вважати, що многочлен $P$ містить одночлен ненульового степеня від однієї із змінних $Y_0,Y_1,\dots ,Y_n$.

Припустимо, що $P$ має найнижчий можливий загальний степінь відносно лексикографічного впорядкування $Y_0<Y_1<\dots <Y_n<X$. Наприклад,

$\mathrm{deg}(-3X^{10}{Y}_0^2{Y}_1^4+i{X}^2{Y}_2)<\mathrm{deg}(2X{Y}_0^3-Y_1^4),$

оскільки найбільший степінь $Y_0$ в будь-якому одночлені першого многочлена менший ніж у другого многочлена.

Далі зауважимо, що для всіх $z\in ℂ\setminus {\mathbb{Z}}_{\le 0}$,

$\begin{array}{cc}P(z+1;\mathrm{\Gamma }(z+1),{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z+1),{\mathrm{\Gamma }}^{″}(z+1),\dots ,{\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z+1))& =P(z+1;z\mathrm{\Gamma }(z),[z\mathrm{\Gamma }(z){]}^{\prime },[z\mathrm{\Gamma }(z){]}^{″},\dots ,[z\mathrm{\Gamma }(z){]}^{(n)})\\ & =P(z+1;z\mathrm{\Gamma }(z),z{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)+\mathrm{\Gamma }(z),z{\mathrm{\Gamma }}^{″}(z)+2{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z),\dots ,z{\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z)+n{\mathrm{\Gamma }}^{(n-1)}(z)).\end{array}$

Якщо визначити другий многочлен $Q\in ℂ[X;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]$ за допомогою перетворення

$Q\stackrel{\text{df}}{=}P(X+1;X{Y}_0,X{Y}_1+Y_0,X{Y}_2+2Y_1,\dots ,X{Y}_n+n{Y}_{n-1}),$

то отримаємо наступне алгебраїчне диференціальне рівняння для $\mathrm{\Gamma }$:

$\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus {\mathbb{Z}}_{\le 0}:Q(z;\mathrm{\Gamma }(z),{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z),\dots ,{\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z))\equiv 0.$

Більш того, якщо $X^h{Y}_0^{h_0}{Y}_1^{h_1}\cdots Y_n^{h_n}$ — одночлен найвищого степеня в многочлені $P$, то одночлен найвищого степеня в многочлені $Q$ має вигляд

$X^{h+h_0+h_1+\cdots +h_n}{Y}_0^{h_0}{Y}_1^{h_1}\cdots Y_n^{h_n}.$

Отже, многочлен

$Q-X^{h_0+h_1+\cdots +h_n}$

має менший загальний степінь ніж многочлен $P$, і оскільки він породжує алгебраїчне диференціальне рівняння для $\mathrm{\Gamma }$, то він повинен бути нульовим многочленом за припущенням мінімальності многочлена $P$. Звідси визначаючи $R\in ℂ[X]$ як

$R\stackrel{\text{df}}{=}{X}^{h_0+h_1+\cdots +h_n},$

отримаємо

$Q=P(X+1;X{Y}_0,X{Y}_1+Y_0,X{Y}_2+2Y_1,\dots ,X{Y}_n+n{Y}_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n).$

Тепер покладемо $X=0$ в многочлені $Q$:

$Q(0;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n)=P(1;0,Y_0,2Y_1,\dots ,n{Y}_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n)=0_{ℂ[Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]}.$

Після заміни змінних отримуємо

$P(1;0,Y_1,Y_2,\dots ,Y_n)=0_{ℂ[Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]},$

і застосовуючи принцип математичної індукції (разом із заміною змінних на кожному кроці індукції) до попереднього виразу, отримуємо

$P(X+1;X{Y}_0,X{Y}_1+Y_0,X{Y}_2+2Y_1,\dots ,X{Y}_n+n{Y}_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_0,Y_1,\dots ,Y_n)$

Таким чином,

$\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}:P(m;0,Y_1,Y_2,\dots ,Y_n)=0_{ℂ[Y_0,Y_1,\dots ,Y_n]}.$

Це можливо лише, якщо $P$ ділиться на $Y_0$, але це суперечить припущенню про мінімальність многочлена $P$. Отже, такого многочлена $P$ не існує, і тому $\mathrm{\Gamma }$ не є диференціально алгебраїчною. Що й треба було довести.