Теорема Аполлонія

Теорема Аполлонія

Теорема Аполлонія пов'язує лінійні елементи в трикутнику. Нехай дано трикутник $ABC$, точка $D$ лежить на стороні $BC$ і ділить її у співвідношенні $n:m$ (тобто $mBD=nDC$), тоді справедлива рівність:

$mA{B}^2+nA{C}^2=mB{D}^2+nD{C}^2+(m+n)A{D}^2.$

Якщо $m=n=1$, тобто коли $AD$ є медіаною опущеною на сторону $BC$, то теорема спрощується:

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$

Крім того якщо $AB=AC$, то трикутник рівнобедрений і теорема спрощується до теореми Піфагора.

$A{D}^2+B{D}^2=A{B}^2(=A{C}^2).$

Див. також

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлонія

Джерела

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:PlanetMath