Теорема Стюарта

Шаблон:Портал Теорема Стюарта — метрична теорема в евклідової планіметрії.

Теорема Стюарта

Шаблон:Рамка Якщо точка D лежить на стороні BC трикутника ABC, то

$A{D}^2=b^2\frac{x}{a}+c^2\frac{y}{a}-xy,$

де $y=CD$, і $x=BD$. Шаблон:/рамка

Доведення

На малюнку точка $D$ є точкою перетину $p$ з $BC$

$A{B}^2=B{D}^2+A{D}^2-2AD\cdot BD\cos \mathrm{\angle }ADB$

$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2AD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADC=A{D}^2+D{C}^2+2AD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADB$

Помноживши перше рівняння на $DC$ ,а друге - на $BD$ ,отримаємо:

$A{B}^{2}DC=B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADB$

$A{C}^{2}BD=A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \mathrm{\angle }ADB$

Складемо рівняння:

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD=B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC+A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD$

$A{D}^2(DC+BD)=A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-B{D}^{2}DC-D{C}^{2}BD$

$A{D}^2(DC+BD)=A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)$

$A{D}^2=\frac{A{B}^{2}DC}{BD+DC}+\frac{A{C}^{2}BD}{BD+DC}-BD\cdot DC$

Або :

$A{D}^2=\frac{A{B}^{2}DC}{BC}+\frac{A{C}^{2}BD}{BC}-BD\cdot DC$

Історія

Теорема названа по імені її сформулював і довів англійського математика М. Стюарта (Stewart Matthew: 1717, Ротсей, Шотландія — 1785, Единбург) і опублікував її в праці «Деякі загальні теореми» (1746, Единбург). Теорему повідомив Стюарту його вчитель Роберт Сімсон, який опублікував цю теорему лише в 1749 р.

Застосування

Теорему можна використовувати для знаходження медіан и бісектрис трикутників.

Наслідком теореми Стюарта є теорема Птолемея.

Теорема, обернена до теореми Стюарта, не вірна.

Див. також

• Математика

Література

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-ое изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. Шаблон:Webarchive стр.302-303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с.
• Орос, В. М. Загадка теореми, оберненої до теореми Стюарта [Текст] / В. М. Орос // Математика в школах України. – 2016. – № 34-36. – С. 36–39.