Теорема Адамара про лакуни

Теорема Адамара про лакуни (також теорема Островського — Адамара) — твердження про неможливість аналітичного продовження степеневого ряду, у якого коефіцієнти дорівнюють нулю для доданків, що задовольняють деяким вимогам, за межі круга збіжності, навіть на точки границі круга. Названа на честь математиків Олександра Островського і Жака Адамара.

Формулювання

Розглянемо функцію, яка визначається степеневим рядом виду $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{z}^{{\lambda }_n}$, збіжним у крузі радіусу 1, де $\{p_n\}$ — деяка зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді, якщо існує деяка додатна константа $\delta$, така, що $\frac{p_{n+1}}{p_n}>1+\delta$ для всіх $n$, то функція $f(z)$ є лакунарною, тобто для неї не існує аналітичного продовження навіть на точки на границі круга.

Доведення

Припустимо, що деяка $P\in \partial D$ є регулярною для $f$, тобто для $f$ існує аналітичне продовження в деякий окіл цієї точки. Без втрати загальності можна вважати $P=1$. Дійсно замінивши $z$ на $wz$, де $|w|=1$, отримуємо ряд тієї ж форми, коефіцієнти якого за модулем рівні попередньому; тож новий ряд також має радіус збіжності 1, згідно з радикальною ознакою Коші. Тоді існує круг $D(l,ϵ)$ і голоморфна функція $F$ на $U=D(0,1)\cup D(l,ϵ)$ для яких $F{|}_{D(0,1)}=f{|}_{D(0,1)}$.

Виберемо ціле число $k>0$ таке що $(k+l)/k<1+\delta$ і визначимо функцію $\psi (z)=\frac{1}{2}(z^k+z^{k+1})$.

Зауважимо, що $\psi (1)=1$ і якщо $|z|⩽1$, але $z\ne 1$, тоді маємо

$|\psi (z)|=\frac{1}{2}|z^k|\cdot |1+z|<\frac{1}{2}|z^k|\cdot 2⩽1$

Тому $\psi (\bar{D})$ є компактною підмножиною $U$. З неперервності $\psi$ випливає, що існує круг $D(0,1+\delta )$ такий що $\psi (D(0,1+\delta ))\subseteq U$. Зауважимо, що $1\in \psi (D(0,1+\delta ))$.

Визначимо $G(z)=F(\psi (z)),z\in D(0,1+\delta )$. Розкладемо $G$ в степеневий ряд в околі 0:

$G(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$.

Порівняємо цю формулу із формулою одержаною заміною $\psi (z)$ у степеневий ряд для $F=f$ на $D(0,1)$:

$(F\circ \psi )(z)=\sum _j{a}_j{\left(\frac{1}{2}(z^k+z^{k+1})\right)}^{p_j}$

Зауважимо що j-й доданок цього ряду містить степені $z$ від $z^{k{p}_j}$ до $z^{(k+1)p_j}$, а (j+1)-й доданок містить степені $z$ від $z^{k{p}_{j+1}}$ до $z^{(k+1)p_{j+1}}$. Але умови теореми щодо $\{p_n\}$ і вибір $k$ гарантують що $(k+1)p_j<k(p_{j+1})$, тож степені у різних доданках є різними відрізняються.

Як наслідок,

$\sum _{j=0}^N{a}_j(\psi (z){)}^{p_j}=\sum _{l=0}^{(k+1)p_N}{c}^l{z}^l$.

Вираз у правій стороні збігається при $N\to \mathrm{\infty }$ на крузі $D(0,1+\delta )$, оскільки $G(z)$ є голоморфною всюди в цьому крузі. Тому збігається і вираз у лівій стороні. Іншими словами, $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j{\omega }^{p_j}$ збігається для всіх $w\in \psi (D(0,1+\delta ))$. Зокрема цей ряд збігається для всіх $w$ в околі 1, тож із теореми Абеля випливає, що його радіус збіжності не є рівним 1, що суперечить припущенню.

Див. також

• Аналітичне продовження
• Степеневий ряд

Література

• Бибербах Л. Аналитическое продолжение, пер. с нем. — М.: Наука, 1967. Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Citation