Структура Годжа

Структура Годжа ваги $n$, або чиста структура Годжа — об'єкт, що складається з ґратки $H_{\mathbb{Z}}$ у дійсному векторному просторі $H_{ℝ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℝ$ і розкладання $H_{ℂ}=\underset{n}{⨁}{H}^{p,q}$, де $n=p+q$, комплексного векторного простору $H_{ℂ}=H_{\mathbb{Z}}\otimes ℂ$, що називається розкладанням Годжа. При цьому повинна виконуватися умова ${\overline{H}}^{p,q}=H^{q,p}$, де ${\overline{H}}^{p,q}$ — комплексне спряження в $H_{ℂ}=H_{ℝ}\underset{ℝ}{⨂}ℂ$.

Інакше, розкладання Годжа можна описати, використовуючи поняття убиваючої фільтрації, або фільтрації Годжа, $F^r=\underset{p⩾r}{⨁}{H}^{p,q}$ в $H_{ℂ}$ такої, що ${\overline{F}}^s\cap F^r=0$ при $r+s\ne n$. Тоді підпростори $H^{p,q}$ відновлюються за формулою $H^{p,q}={\overline{F}}^p\cap F^q$.

Цю структуру в просторі $n$-вимірних когомологій $H^n(X,ℂ)$ компактного келерового многовиду $X$ уперше дослідив Вільям Годж.

В цьому випадку підпростори $H^{p,q}$ описуються як простори гармонічних форм типу $(p,q)$ або як когомології $H^q(X,{\mathrm{\Omega }}^p)$ пучків ${\mathrm{\Omega }}^p$ голоморфних диференціальних форм.

Фільтрація Годжа в $H^n(X,ℂ)$ виникає з фільтрації комплексу пучків $\mathrm{\Omega }=\sum _{p⩾0}{\mathrm{\Omega }}^p$, $n$-вимірні гіперкогомології якого ізоморфні $H^n(X,ℂ)$, підкомплексами виду $\sum _{r⩾p}{\mathrm{\Omega }}^r$.