Стереотипний простір

У функціональному аналізі та пов'язаних галузях математики стереотипні простори є класом топологічних векторних просторів, що виділяється деякою спеціальною умовою рефлексивності. Цей клас має серією чудових властивостей, зокрема, він досить широкий (наприклад, містить всі простори Фреше, і тому все банахові простори), він складається з просторів, підпорядкованих певній умові повноти, і утворює замкнуту моноїдальную категорію зі стандартними аналітичними засобами побудови нових просторів, такими як перехід до замкнутого підпростору, фактор-простором, проєктивній і ін'єктивній границі, простору операторів, тензорним добуткам тощо.

Категорія стереотипних просторів

Клас Ste стереотипних просторів утворює категорію з лінійними неперервними відображеннями морфізмами і має такі властивості:

• Ste — предабелева категорія;
• Ste — повна і коповна категорія;
• Ste — автодуальна категорія відносно функтора $X\mapsto X^{\star }$ переходу до спряженого простору;
• Ste — категорія з вузловим розкладом: будь-який морфізм $\phi :X\to Y$ має розклад $\phi =\sigma \circ \beta \circ \pi$, у якому $\pi$ — строгий епіморфізм, $\beta$ — біморфізм, а $\sigma$ — строгий мономорфізм.

Для будь-яких двох стереотипних просторів $X$ и $Y$ стереотипний простір операторів $Y\oslash X$ з $X$ в $Y$ означається як псевдонасичення простору $\text{L}(X,Y)$ всіх лінійних неперервних відображень $\phi :X\to Y$, наділеного топологією рівномірної збіжності на цілком обмежених множинах. Простір $Y\oslash X$ стереотипний. З його допомогою означаються два природних тензорних добутки в Ste:

$X⊛Y:=(Y^{\star }\oslash X{)}^{\star },$

$X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.$

Теорема. В категорії Ste виконуються наступні природні тотожності::

$ℂ⊛X\cong X\cong X⊛ℂ,$

$ℂ\odot X\cong X\cong X\odot ℂ,$

$X⊛Y\cong Y⊛X,$

$X\odot Y\cong Y\odot X,$

$(X⊛Y)⊛Z\cong X⊛(Y⊛Z),$

$(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),$

$(X⊛Y{)}^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },$

$(X\odot Y{)}^{\star }\cong Y^{\star }⊛X^{\star },$

$X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },$

$X\oslash (Y⊛Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,$

$(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)$

Зокрема, Ste — симетрична моноїдальна категорія щодо біфунктора $\odot$, симетрична замкнута моноїдальна категорія щодо біфунктора $⊛$ і внутрішнього hom-функтора $\oslash$, і Шаблон:Iw:

$X^{\star }\oslash (Y⊛Z)\cong (X⊛Y{)}^{\star }\oslash Z,$

Ядро і коядро в категорії Ste

Оскільки Ste — предабелева категорія, всякий морфізм $\phi :X\to Y$ в ній має ядро, коядро, образ і кообраз. Ці об'єкти задовольняють наступним природним тотожностям:

$(\text{ker}\phi {)}^{\star }=\text{coker}({\phi }^{\star }),(\text{coker}\phi {)}^{\star }=\text{ker}({\phi }^{\star }),$

$(\text{im}\phi {)}^{\star }=\text{coim}({\phi }^{\star }),(\text{coim}\phi {)}^{\star }=\text{im}({\phi }^{\star }),$

$(\text{Ker}\phi {)}^{\perp △}=\text{Im}({\phi }^{\star }),(\text{Im}\phi {)}^{\perp △}=\text{Ker}({\phi }^{\star }),$

$\text{Ker}\phi =(\text{Im}({\phi }^{\star }){)}^{\perp △},\text{Im}\phi =(\text{Ker}({\phi }^{\star }){)}^{\perp △}.$

Прямі та зворотні границі в категорії Ste

Справедливі наступні природні тотожності:

$(\underset{i\in I}{⨁}{X}_i{)}^{\star }\cong \prod _{i\in I}{X}_i^{\star }$

$(\prod _{i\in I}{X}_i{)}^{\star }\cong \underset{i\in I}{⨁}{X}_i^{\star }$

$Y\oslash \left(\underset{i\in I}{⨁}{X}_i\right)\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_i)$

$\left(\prod _{j\in J}{Y}_j\right)\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_j\oslash X)$

$\left(\underset{i\in I}{⨁}{X}_i\right)⊛\left(\underset{j\in J}{⨁}{Y}_j\right)\cong \underset{i\in I,j\in J}{⨁}(X_i⊛Y_j)$

$\left(\prod _{i\in I}{X}_i\right)\odot \left(\prod _{j\in J}{Y}_j\right)\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_i\odot Y_j)$

$(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_i{)}^{\star }\cong \underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i}{\lim }{X}_i^{\star }$

$(\underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i}{\lim }{X}_i{)}^{\star }\cong \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_i^{\star }$

$Y\oslash \left(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_i\right)\cong \underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i}{\lim }(Y\oslash X_i)$

$\left(\underset{\mathrm{\infty }\leftarrow j}{\lim }{Y}_j\right)\oslash X\cong \underset{\mathrm{\infty }\leftarrow j}{\lim }(Y_j\oslash X)$

$\left(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_i\right)⊛\left(\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{Y}_j\right)\cong \underset{i,j\to \mathrm{\infty }}{\lim }(X_i⊛Y_j)$

$\left(\underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i}{\lim }{X}_i\right)\odot \left(\underset{\mathrm{\infty }\leftarrow j}{\lim }{Y}_j\right)\cong \underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i,j}{\lim }(X_i\odot Y_j)$

(тут $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ — пряма границя а $\underset{\mathrm{\infty }\leftarrow i}{\lim }$ — обернена границя в категорії Ste).

Перетворення Гротендика

Якщо $X$ і $Y$ — стереотипні простори, то для будь-яких елементів $x\in X$ і $y\in Y$ формула

$(x⊛y)(\phi )=\phi (y)(x),\phi \in X^{\star }\oslash Y$

визначає елементарний тензор $x⊛y\in X⊛Y=(X^{\star }\oslash Y{)}^{\star }$, а формула

$(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,f\in X^{\star }$ — елементарний тензор $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Теорема. Для будь-яких стереотипних просторів $X$ і $Y$ існує єдине лінійне неперервне відображення ${\mathrm{\Gamma }}_{X,Y}:X⊛Y\to X\odot Y$, що переводить елементарні тензори $x⊛y$ в елементарні тензори $x\odot y$:

${\mathrm{\Gamma }}_{X,Y}(x⊛y)=x\odot y,x\in X,y\in Y.$

Сімейство відображень ${\mathrm{\Gamma }}_{X,Y}:X⊛Y\to X\odot Y$ визначає природне перетворення біфунктора $⊛$ в біфунктор $\odot$.

Відображення ${\mathrm{\Gamma }}_{X,Y}$ називається перетворенням Гротендика.

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal