Спряжена норма

Концепція спря́женої норми (Шаблон:Lang-en) з'являється у функціональному аналізі, галузі математики.

Нехай $X$ це нормований простір над числовим полем $𝔽$ з нормою $\Vert \cdot \Vert$. Тоді спряжений нормований простір $X^{\prime }$ (інший запис $X^{*}$) визначають як множину всіх неперервних лінійних форм з $X$ в базове поле $𝔽.$ Якщо $f:X\to 𝔽$ є такою лінійною формою, тоді спряжену норму $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$ для $f$ визначають як

$\Vert f{\Vert }^{\prime }=\sup \{|f(x)|:x\in X,\Vert x\Vert \le 1\}=\sup \{\frac{|f(x)|}{\Vert x\Vert }:x\in X,x\ne 0\}.$

З цією нормою, спряжений простір $X^{\prime }$ також є нормованим простором, і більше банаховим простором, оскільки $X^{\prime }$ завжди повний.

Приклади

Спряжена норма векторів

Якщо $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ задовольняють $1/p+1/q=1$, тоді ℓ^p і ℓ^q є взаємоспряженими нормами. Це випливає з нерівності Гельдера.

Зокрема, евклідова норма є самоспряженою $(p=q=2).$

Спряжена норма матриць

Норма Фробеніуса:

$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\mathrm{trace}(A^{{}^{*}}A)}=\sqrt{\sum _{i=1}^{\min \{m,n\}}{\sigma }_i^2}$

Спряженою їй є $\Vert B{\Vert }_F$

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції