Елементарна алгебра

Елемента́рна а́лгебра (Шаблон:Lang-en) — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програмиШаблон:Sfn. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

Основні поняття

В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задачШаблон:Sfn.

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі $3x^2-2xy+c$ є наступні компоненти: Шаблон:Center

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:

$ab=a\cdot b;1,2x=1,2\cdot x;\pi (a^2+b^2)=\pi \cdot (a^2+b^2)$

Приклад формули: площа трикутника $S$ так виражається через довжину однієї із сторін $a$ і величину висоти $h$, опущеної на сторону $a$:

$S=\frac{1}{2}ah$

Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символівШаблон:Sfn. Приклади:

$1,2x;\sqrt{2}ab{c}^2;x^{2}w$

Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

Закони елементарної алгебри

Обчислення значення виразу

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

1. Піднесення до степеня.
2. Обчислення функції.
3. Множення та ділення.
4. Додавання та віднімання.

Приклади:

• $a^{b^c}=a^{(b^c)}$
• $\sin x^2=\sin (x^2)$
• $\sin a+b=(\sin a)+b$

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразуШаблон:Sfn. Приклад: для виразу $\frac{a+b}{a-b}$ область допустимих значень — усе пари $a,b$, у яких $a\ne b$.

Властивості операцій

• Комутативність (властивість перестановки) додавання:

$a+b=b+a.$

• Віднімання є дією, оберненою до додавання.
• Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:

$a-b=a+(-b).$

• Комутативність (властивість перестановки) множення:

$a\cdot b=b\cdot a$

• Ділення є дією, оберненою до множення.
• Ділення на нуль є неможливим.
• Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:

$\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right).$

• Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
  • Приклад: якщо $3^x=10$, то $x={\log }_{3}10.$ Якщо $x^2=10$, то $x=\sqrt{10}.$
• Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
• Асоціативна (сполучна) властивість додавання: $(a+b)+c=a+(b+c).$
• Асоціативна (сполучна) властивість множення: $(ab)c=a(bc).$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: $c(a+b)=ca+cb.$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: $(ab{)}^c=a^c{b}^c.$
• Додавання показників степеня: $a^b{a}^c=a^{b+c}.$
• Множення показників степеня: $(a^b{)}^c=a^{bc}.$

Властивості рівності

• Якщо $a=b$ і $b=c$, то $a=c$ (транзитивність рівності).
• $a=a$ (рефлексивність).
• Якщо $a=b$, то $b=a$ (симетричність).

Інші закони

• Якщо $a=b$ і $c=d$, то $a+c=b+d.$ (адитивність рівності)
  • Якщо $a=b$, то $a+c=b+c$ для будь-якого c
• Якщо $a=b$ і $c=d$, то $ac$ = $bd.$ (мультиплікативність рівності)
  • Якщо $a=b$, то $ac=bc$ для будь-якого c
• Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
• Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$ (транзитивність порядку).
• Якщо $a>b$, то $a+c>b+c$ для будь-якого c.
• Якщо $a>b$ і $c>0$, то $ac>bc.$
• Якщо $a>b$ і $c<0$, то $ac<bc.$

Деякі алгебраїчні тотожності

Шаблон:Seealso

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3;(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Розв'язування рівнянь

Шаблон:Main Рівняння — це рівність виду:

$f(x_1,x_2\dots )=g(x_1,x_2\dots )$

Розв'язування рівняння — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

Див. також

• Алгебра
• Таблиця математичних символів
• Історія математичних позначень

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга